极坐标换元求隐函数围成的面积的易错题（一）

看图示这个问题 首先这个夸克搜题答案1/30是错误的 答案必然和ab有关 再来看参考书

这个答案倒是对了但是步骤有问题

这里不是3的2次方应是32 而且答案计算jobic行列式省略了大量运算正确如下

就是技巧性太强 如何想到设x＝arcos角度呢？ 我们来看一种非常朴素又不复杂的解法 直接用最简单的极坐标换元 x＝rcos角度 y＝rsin角度 不用花里胡哨的x＝arcos角度啥的

好了这样就解决了本题 再来看一个常见错解

这里我们设x＝a×r×cosθ y＝a×r×sinθ 然后第一象限 角度还是 0到二分之π吗？ 其实依然是 （至于为什么是可以理解为椭圆和圆极坐标第一象限角都是二分之π） 这种极坐标的r不具有x＝rcosθ 这类极坐标那么明显得距离意义 r也不再代表坐标到原点的距离 况且退一万步说就算θ具有和之前一样的几何意义 由于r不能再表示坐标到原点的距离 那s＝1/2积分r^2dθ这个普通极坐标推出的面积公式也无法成立 所以这是个错解