逻辑和演绎科学方法论导论 读书笔记
第一章.逻辑的元素 演绎方法
一、论变项的用法
1.常项与变项
确定的语句：（被断定的）命题
证明：建立语句的正确性
定理：被证明过的语句
常项：有确定意义且意义，且在使用过程中意义保持不变，如1 2 3 + —
变项：本身没有意义，如x y z
2.包含变项的表达式——语句函项和指示函项
x是一正整数
这样的一个表达式，我们把它称作语句函项
注意：在不引起误解的情况下，我们简称语句函项为语句
当语句函项中的变项被常项代替时，该语句函项就变成了一个语句
2x+1
这样的一个表达式，我们把它称作指示函项（摹状函项）
当指示函项中的变项被常项取代时，我们就得到了一个指示词（摹状词）
注意：我们有时将x y z或由此构成的指示函项，直接称作为指示词，但只是一种省略的说法
3.应用变项形成语句——全称语句和存在语句
使函项形成语句的方法：
1.单称语句：用常项替代函项，使得该语句不含有任何变量
3+2=3+2
2.全称语句
对于任何x y，x+y=y+x成立
这种语句断定在某个范畴之内的任何事物都具有如此如此的性质
3.存在语句
有数x y ，使得x＞y+1
这种语句表示具有某种性质的事物存在
注意：这三种分类并没有穷尽所有的语句，例如
对于任意数x y 存在z 使得
x=y+z
4.全称量词与存在量词：自由变项与约束变项
1.全称量词
对于任何x y…..
我们用符号A来表示全称量词
2.存在量词
有x y 使得….
我们用符号E来表示存在量词
注意：我们也称量词为运算子，但有些作为运算子的表达式却不是量词
当我们把一个函项前加上一些运算子，而且这些运算子包含了该函项的所有变项，那么这个语句函项便自动成为了一个语句，如果没有包含所有变项，那么它依旧是一个语句函项。
3.自由变项（真变项）
它的存在是肯定这个表达式是一个语句函项而不是语句的决定性因素。
如果要把这个语句函项变成语句，就必须把它转换为常项，或加上包含它的运算子
4.约束变项（假变项）
在语句函项转换为一个语句的过程中意义是不变的
举例分析下面这个语句函项
对于任何数x 如果x=0或y≠0 那么 有一个数z 使得x=y·z
分析x： x出现了三次：
（1）对于任何数x
（2）x=0
(3）x=y·z
在他出现的任何位置上都是一个约束变项，同理z也如此
唯有y没有被量词包括,所以它是自由变项
注意：量词能够约束（使语句函项中的自由函项变为约束函项）变项，这是它最本质的性质
运算子是一个一般名词，用来表示一切具有这类性质（使语句函项中的自由函项变为约束函项）的表达式
二、论语句验算
1.语句演算：语句的否定，合取式与析取式
语句演算，又称作命题演算，是逻辑最初步基础的工作
1.否定
借助“不”这个字，我们可以形成语句的否定
两个语句如果其中的一个语句是另一个语句的否定，这两个语句就是互相矛盾的语句
也就是说，这个语句和其否定的真假性相反
例如：1是一个正整数
1不是一个正整数
2.合取式（逻辑积）
借助“而且”这个词，我们可以形成语句的合取
构成合取式的语句叫做合取式的元素或者逻辑积的因子
在多个语句组成的合取式中，如果有一个语句是假的，那么这个合取式便是假的
例如：2是一个正整数，而且2＜3
3.析取式（逻辑和）
借助“或”这个词，我们可以形成语句的析取
注意：在逻辑和数学中，或的意义是可兼的，并列2的元素可以同时为真
例如：学生或老师可以享受降价优惠
当我们想表达不可兼的情况时，我们常用“或者......或者.......”
构成析取式的语句叫做析取式的元素或者逻辑和的被加项
在多个语句构成的析取式中，如果有一个语句是真的，那么这个合取式就是真的
注意：这里的组成析取式的语句，互相可以毫无实际联系，
例如：2+2=5或中国的首都是北京
2.蕴含式和条件语句；实质蕴含
1.蕴含式（条件语句）
借助“如果……那么……”，我们可以形成条件语句
前件：由”如果“引导的子句
后件：由”那么“引导的子句
当我们断定一个蕴含式时，我们就是断定：不存在前件真而后件假的情况
也就是说，在：（1）前件真 后件真
（2）前件假 后件真
（3）前件假 后件假
这三种情况时，这个蕴含式为真
在前件真 后件假时 整个蕴含式为假
2.实质蕴涵和形式蕴涵
实质蕴涵：即使一个蕴含式的前件和后件没有任何联系，仍把这个蕴含式看做一个有意义的语句，也就是说，该蕴涵式的真假完全取决于前后件的真假。
形式蕴涵：在满足实质蕴涵的前提下，保证前件和后件有某种形式上的联系
3.等值式
借助“如果….而且当且仅当”，我们可以形成等值式
等值式的两个语句，分别叫做等值式的左方和右方
如果等值式的左方和右方真假性相同，那么这个等值式为真，反之为假
在条件语句中，当我们把前件和后件互换，那么这个新的语句，叫做原语句的逆语句（或者说是原语句的逆换式）
当原语句和逆语句都是真的，那么我们可以用“当且仅当”连接这两个语句
※利用等值式进行定义
定义：如果一个表达式在某门科学中第一次出现，而我们对这个表达式又不能有直观的了解时，我们就要做出一个约定，来确定这个表达式的意义
例如：我们说x≤y，当且仅当不是，x＞y
等值式的定义规则：等值式的第一部分——被定义者，文法比较简单的语句函项
等值式的第二部分——定义者，具有任意结构的语句函项，其中的常项的意义 要么是直接明白的，要么是已经被解释过的。
循环定义：被定义的常项，以及任何借助于这个常量的表达式，都不能出现在定义者中。否则这个定义就是循环定义
4.语句验算的定律
我们用p q这两个符号，来表示一个整个的语句，这种变项我们叫做语句变项
有些语句的真，完全不依赖于语句的意义，而依赖于“且”“如果”“那么”这些语词的意义
例如：如果1是一个正数，而且1＜2，那么，1是一个正数
我们用p q来替换语句，便得到以下的语句函项
如果p而且q，那么，p
用任意语句取代换p q，得到的语句总为真，我们给这个语句函项加上运算子使之成为命题（语句）
对于任意p q 如果p而且q，那么，p
这个定律叫做逻辑乘法的简化定律
同理，我们还可以得到类似的语句演算定律
如果p，那么p ——同一律
如果p，那么p或q ——逻辑加法的简化定律
如果p蕴涵q，而且q蕴涵r，那么，p蕴涵r ——假言三段论定律
5.真值函项和真值表
首先，我们用一些符号来代替语词
否：~
而且：∧
或者：∨
如果…那么…：→
当且仅当： ⇔
真值函项：凡用语句去代换这个语句函项的各变项而得出的任何语句，它的真假完全依据于被代换进去的语句的真假。
真值表：暂略 （麻烦诸位百度了）
6.共轭语句
反语句：将原语句的前件后件分别换成其否定式
逆反语句：将反语句的前件后件互换
共轭语句：原语句 反语句 逆语句 逆反语句的合称
易位定律（逆反定律）：一个蕴含式为真，则它的逆反语句也为真
7.推论的规则
代入规则：在一个由全称量词与一个语句函项构成的语句，我们将量词省略，并用其他变项或者表达式去代换被全称量词约束的变项。
例如：对于任意X 有一个数y 使得x+y=5
有一个数y，使得3+y=5
或者 对于任意数z，有一个数y 使得z²+y=5
注意：当我们用表达式来代换x时，这个表达式不能含y
例如：用（3-y）去代换x
分离规则：若有两个语句为真，一个为蕴含式，另一个为蕴含式的前件，那么作为蕴含式的后件的那个语句，也为真。
三.同一理论
1.基本定律
同一理论：不同于语句验算的逻辑概念，研究同一或相等这一重要概念的理论
莱布尼兹定律：x=y 当且仅当，y具有的每个性质，x都具有，同时，x具有的每个性质，y都具有
注意：下面要推出的三个定律，都是仅有莱布尼兹定律作为出发点推理的，莱布尼兹定律也可以看做对于逻辑中’=’符号的定义，请抛开自己关于数学“=”符号的常识性认知。
自反定律：x=x
证明：x=x，当且仅当，x具有的每个性质，x都具有，同时，x具有的每个性质，x都具有
根据（p∧p ⇔p重言定律）我们可以把后面的两句话合并
变成 x=x，当且仅当，x具有的每个性质，x都具有
根据同一律（p→p）我们可以知道等值式的右方为真
因此，等值式的左方也应为真，即x=x 证毕
对称定律：如果x=y，那么y=x
证明：y=x 当且仅当，y具有的每个性质，x都具有，同时，x具有的每个性质，y都具有
将该式与莱布尼兹定律相比较，该等值式的左方仅与莱布尼兹定律的左方顺序不同，又因为逻辑乘法的交换律，可得出，这两个左方是等值的，
变成 y=x，当且仅当，x=y 证毕
传递定律：如果x=y，而且y=z，那么x=z
证明：x=y y=x
根据莱布尼兹定律，一切y具有的性质，x都具有
所以 x=z
2.事物间的同一与指示词之间的同一；引号的用法
语言有效运用的一个基本原则：
任何时候，我们用一个语句去断定某个事物，我们将这个事物的名称或者指示词放在这个语句之中，而不是把事物本身放在语句之中。
例如：这块宝石是蓝色的
我们用这块宝石这个名称来代替实际的宝石，而不是在这个句子中真的放一块宝石。我们称之为形式的指谓
可在对象为一个字或者一个符号时，这个原则就会被违反
例如：好是由六笔构成的
玛丽是一个专有名词
这是我们就没有用名称去指代实际的事物 我们称之为实质的指谓
如何明确表达这种实质的指谓呢，我们在表达式的外面加上引号，
例如：“好”是由六笔构成的
3.数的量词
与存在量词嗯哼全称量词相同，也属于运算子
例如：至少有一个，至多有一个
四、类的理论（一般集合论）
1.类与它的元素
一级类：由个体构成
二级类：由一级类构成
我们常用英文的小写字母表示个体，用大写字母表示类
x是K中的一个元素
用符号表示：x∈K
2.类与包含一个自由变项的语句变项
我们在x＞0这个包含一个自由变项的语句函项前加上
这个由所有数x构成的集合，使得x＞0
这个函项就与 x∈P 等值
对于每个只包含一个自由变项的语句函项，恰恰有一个相应的类。
那么，’这个由所有x构成的类，使得....“
我们可以用C【下面写上x这个自由变项】表示
上面这句话，也是一种运算子
我们常说，包含一个自由变项的语句函项，是表示某一种性质。 相当于这个函项的类，包含，且只包含具有这个性质的一切事物作为它的元素。
注意：这也正是著名的罗素悖论在这个问题下指明的矛盾
设性质P为：不包含自己 类A与之对应 ，产生矛盾，说明这样的类不存在。然而这又与一种性质对应一种类矛盾。
3.全类和空类
全类：包含一切个体作为元素 用符号 V 表示
空类：没有任何事物满足第二个函项 用符号 Λ 表示
论域：在数学理论中，什么是这个理论的个体，由这些个体所构成的类可以用“V”表示，称之为论域
4.5章节
都为简单集合概念，高中数学课本内容相似，省略
6章节
说明近代逻辑在数学上的重大意义
五、关系的理论
1.关系理论术语和与有两个自由变项的语句函项
我们用“R””S”….来表示关系
我们将：
事物x与事物y有R关系
写成：xRy
事物x与事物y没有R关系
写成：~（xRy）
前继：任何一个与某一事物y有R关系的事物（即x）
后继：任何一个与某一事物x有R关系的事物（即y）
前域：由所有R关系前继构成的类
后域：由所有R关系后继构成的类
与类的理论相似，我们也区分不同级的关系
第一级关系：个体之间的关系
第二级关系：由第一级关系和第一季关系之间的关系
对于每一个具有两个自由变项x与y的语句函项，相应的，有一种存在于事物x与y之间的关系，当且仅当x与y满足这个语句函项
xRy也就可以看作是包含两个自由变项的的语句函项的普遍形式
2.关系的运算
关系的运算和类的运算相似
全关系：任何两个事物都有的关系 用符号 V 表示
空关系：任何两个事物都没有的关系 用符号 Λ 表示
包含关系：如果任何时候两个事物有关系R，这两个事物就有关系S。那么我们就说，关系R包含于关系S；用符号表示：⊂
关系之和 用符号：R∪S 表示 两个事物之间有R或S其中一种的关系
关系之（绝对）积 用符号：R∩S 表示 两个事物之间有R而且S的关系
关系的否定：用符号R’表示，一个关系不存在与两个事物之间（与~（xRy）等值）
同一关系：用符号I表示 而不用=来表示
相异关系：用符号D表示 而不用≠来表示
关系的相对积：用符号R/S表示 x y有关系R/S，当且仅当有一个z使得xRz而且zS
逆关系：在关系符号R上加一个︺ 它存在与x和y之间但且仅当R存在云y和x之间
3.自反的，对称的，传递的关系
自反的：如果K类中的每个元素都与他自己有关系R，我们就说关系R在K类中是自反的，即xRx
反之，如果K类中的每个元素都不与他自己有关系R，我们就说关系R在K类中是不自反的
对称的：如果对于K类的任意的两个元素，公式xRy 蕴涵 公式 yRx
反之，如果对于K类的任意的两个元素，公式xRy 蕴涵 公式~（ yRx），即是不自反
传递的：如果对于K类的任意三个元素x y z 有xRy yRz 蕴涵 xRz
连通的：对于K类中的任意两个元素x y xRy yRx 其中有一为真
我们可以把每一个同时具有自反的 对称的 传递的关系看做某一种相等
如“相似”这个关系，它是自反 对称 传递的，当且仅当，其具有相同的外形
4.其他重要的关系
序列关系：能将一个K类中的元素排出一个序列，如”小于“
这个关系是不自反 不对称 传递的
一多关系（函项关系）：对于每一个事物y，至多有一个x，使得xRy
x就叫做这个关系的主目值，y叫做函项值
我们用x=R(y）来代替上面的式子
就等同于我们用”x是和那y的父亲同一的“去代替”x是那y的父亲“
注意：这就是函数啊！
一一关系：x对y是一多关系，同时，y对x也是一多关系的关系
一一对应：将一一关系f的所有x组成的一个类K，所有y组成的一个类L。那么，我么就说，函项f建立了K的元素和L的元素之间的一一对应。
等数类：如果有一个函项，它在K类和L类中建立了一一对应的关系，那么K类和L类就是等数的。
任何无穷集合都具有其全集和它的一部分等数，而一个有穷集合和它的任何真正子集不是等数的。
