关于抵押贷款常数的一些理解

抵押贷款常数M=(r(1+r)^n)/[((1+r)^n)-1]，表示单位贷款在一期内应偿还额

1.动力系统模型

      设贷款金额为b(0)，每一期末固定偿还本息c，k期初贷款余额为b(k)，k期末或k+1期初贷款余额为b(k+1)，期利率为r，则有：

          Δb(k)=b(k+1)-b(k)=-(c-r×b(k))=rb(k)-c

于是有b(k+1)=(1+r)b(k)-c，可得b(k)=[(b(0)-(c/r))×(1+r)^k]+(c/r)

     假设第n-1期完成还款，则b(n)=0，则有：

                [(b(0)-(c/r))×(1+r)^n]+(c/r)=0

即有：M=c/b(0)=(r(1+r)^n)/[((1+r)^n)-1]

2.现金流量

设一笔贷款为a(0)，期利率为r，贷款期为n，a(n)表示n期后的价值

(1)a(n)=a(0)×(1+r)^n

(2)每一期末固定偿还本息c，n期偿还贷款及利息，由此可知：

a(n)=∑c(1+r)^(k-1),k=1,2,…,n

       =c×[((1+r)^n)-1]/r=a(0)×(1+r)^n

所以M=c/a(0)=(r(1+r)^n)/[((1+r)^n)-1]

同时也可以利用贷款金额等于各期还款现值和：

a(0)=∑c(1+r)^(-k),k=1,2,…,n

       =c×[((1+r)^n)-1]/[r(1+r)^n]

即有：M=c/a(0)=(r(1+r)^n)/[((1+r)^n)-1]