【数学基础Ep18】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

2. 收敛数列必有界；

3. 有限个无穷小的和还是无穷小；

4. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

5. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

6. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

7. 非奇异/非退化/满秩矩阵：设A=（aij）为n阶方阵，若|A|不为0，则称A为非奇异（非退化，满秩）矩阵，否则称A为奇异（退化，降秩）矩阵。

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数习题集》（杨子胥 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

a.设有数列{an}.若lim（an+1-an）=a，则lim an/n=a.

b,设lim an=a.若lim n（an-an-1）=l，则l=0.

证明：

a.

1. an=a1+（a2-a1）+……+（an-an-1）

2. lim an/n

   =lim [a1+（a2-a1）+……+（an-an-1）]/n

   =lim a1/n+lim[（a2-a1）+……+（an-an-1）]/（n-1）lim（n-1）/n

   =lim a1/n+lim（an-an-1）lim（n-1）/n

   =0+a*1=a

b.

1. 令a0=0，令bn=n（an-an-1），则lim bn=lim（b1+b2+……+bn）/n=l；

2. l

   =lim bn

   =lim（b1+b2+……+bn）/n

   =lim[（a1-a0）+2（a2-a1）+……+n（an-an-1）]/n

   =lim[-（a0+a1+a2……+an-1）+nan]/n

   =-lim（a1+a2……+an-1）/（n-1）lim（n-1）/n+lim an

   =-lim an-1 lim（n-1）/n+lim an

   =-a*1+a=0.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

如果一个四面体有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也必垂直.而且三对对棱平方和相等。

证明：任取点O，对四面体ABCD，设AB垂直于CD，AC垂直于BD，要证AD垂直于BC——

1. AB垂直于CD，则AB CD=0，（OB-OA）（OD-OC）=OB OD-OB OC-OA OD+OA OC=0；

2. AC垂直于BD，则AC BD=0，（OC-OA）（OD-OB）=OC OD-OB OC-OA OD+OA OB=0；

3. 由1,2：OB OD-OB OC-OA OD+OA OC=OC OD-OB OC-OA OD+OA OB，则OB OD+OA OC=OC OD+OA OB；

4. AD BC

   =（OD-OA）（OC-OB）

   =OD OC-OA OC-OD OB+OA OB

   =（OC OD+OA OB）-（OA OC+OD OB）

   =0，证毕。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子胥 编）》）——

证明：若A^2=A，但A不为E，则A必为降秩矩阵。

证：

1. A^2=A，则A^2-A=0，即A（A-E）=0；

2. 假设A为满秩矩阵，即|A|不为0，则A有逆矩阵A^（-1）；

3. （A（-1）A）（A-E）=A^（-1）0，即A-E=0，则A=E，与题设矛盾，故而A为降秩矩阵。

到这里！