《高等数学》同济版 全程教学视频（宋浩老师）
《下册》
- - - - - - - - - - - - - chap 10 - - - - - - - - - - - - - -
| 第十章 二重积分
P114 概念：曲顶柱体体积
乘积和式的极限（直径最大值趋于零）
f(x,y)有界即可,任意分（后续为了计算是格子分法），如果极限存在，就是二重积分，记作∬f(x,y)dσ
dσ 面积元素
积分区域、定义域
直角坐标系：∬f(x,y)dxdy
极坐标：
P115 性质
- 性质2：一个积分区域分成几个
- 性质3：被积函数==1
- 性质4-6：性质不等式（证明题）
- 性质6：中值定理
P116 计算（直角坐标系）
x型：先固定x，y是x函数，再把得到的关于下的表达式从a积到b
步骤：
- 画出积分区域（xoy）
- x从几到几，就是a b
- 写外层积分号——上下限是a b——dx
- 写内层积分号——上下限是y关于x的函数2个（拿笔切一切）——被积函数抄过来——dy
y型：
- 画出积分区域（xoy）
- y从几到几
- 左右函数是谁
特殊：
积分区域是长方形：两个上下限都是常数
积分区域长方形切被积函数可以拆成x的函数乘y的函数：两个积分可以分别算
P117-118 有关极坐标的补充
表示一个点
表示一个圆（一段弧）（圆心不在原点）
表示圆面（圆环）（圆心不在原点）
表示线段：
- 先得到θ
- 记住x=ρcosθ，y=ρsinθ
- 线段y=kx+b 带进去就有了ρ被θ表示的式子
表示一个矩形面（结合表示线段的方法）
P119 计算二重积分（极坐标）
思想：
记住：
求上面二重积分的步骤：
- 画图
- 角度θ由α变为β（先固定）
- 半径ρ的上下限是外层、内层
- - - - - - - - - - - - - - chap 9 - - - - - - - - - - - - - -
| 第九章 多元函数
P91 点集+内外边界点（都是聚点）+开/闭集+连通集+（开）区域/闭区域+有/无界集
P92 （线代）n维空间
P93 有极限的条件：沿任意路径逼近
求极限：复习一元函数求极限的所有方法
验证极限存不存在：从两个方向逼近某点
例题：
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P94 偏导定义+求偏导+偏导存在多元函数未准连续
定义：
P95 全微分+偏微分+近似计算
偏增量&全增量
ΔS ≈ yΔx + xΔy
全微分dz = AΔx + BΔy（A是f对x的偏导数，B是f对y的偏导数）（dz是Δz的近似，抛弃了高阶无穷小的部分）
xy/（x²+y²）在x，y趋于零时没有极限
- 可微⇒偏导存在
- 偏导存在且偏导连续⇒可微
偏微分dxz = x的偏导数*dx
所以dz = dxz + dyz（偏微分相加得全微分）
近似计算 z+dz
P96 复合求导：先画图
P98 隐函数求导（单个方程）存在定理1、2
F(x, y) = 0 或 F(x, y,z) = 0
公式：①有负号②交错对应
注意等号右边是0，二阶直接对一阶求导
P99 隐函数求导（方程组）存在定理3
Jacobian行列式+补充Cramer法则解释负号哪去了
方程组两边对x，y分别求偏导然后解方程组
或看看是否能直接写成显函数
P101
P102 求曲线在某点的切线&法平面
- 给参数方程：求导带进去
- y和z是x的函数：转化为第一种
- 由曲面相交的曲线（书上：多元复合隐函数）
- 对于3，Cramer法制
P104 方向导数+总结
P104 第一部分【定义】方向导数
记作（偏导号），L是方向，x0y0是点
【结论1】当L是i,j方向时，方向导就是对x,y的偏导数
【结论2】方向导数存在，偏导数未必存在
【定理】
求方向导数的步骤：
- 方向
- 单位向量
- 偏导
- 代入公式
三元的也一样
P104 【第二部分】多元函数的偏导、可微、连续、方向导数存在性总结
P105 梯度
梯度是一个向量
- （f对x的偏导，f对y的偏导）
理解
- 方向是函数在这点方向导数取最大值的方向（二维的）
- 大小是最大的方向导数
P106 两点提示
P107-108 梯度例题
- 直接求梯度：对x,y分别求偏导
- 问在某点啥方向增加最快（梯度方向）？
- 减少最快（梯度反方向）？
- 增加率为零（梯度垂直方向）？
- 沿什么方向变化最快（两个方向）？
- 变化率是多少（方向导数，梯度绝对值）？
- 求在某点的切平面（点法式，法向量就是梯度）？法线（参数方程）？
P109 多元函数求极值
【定义】极值：邻域内
【定理1】有极值有偏导，则x偏导=0且y偏导=0
【定义】驻点：xy偏导=0同时成立的点
具有偏导数的极值点必是驻点
函数的驻点不一定是极值点
【定理2】判断驻点是不是极值点（见下例）
例4：f(x,y) = x³-y³+3x²+3y²-9y
步骤：
- 对x,y，分别求一阶偏导
- 二者都等于零，解方程组，得到驻点（x的解和y的解自由组合，4个）
- 求二阶偏导：f''xx，f''xy，f''yy
- 每个点带入上面三个式子得到A，B，C
- AC-B²
- 如果大于零，再看A，A小于零极大值，A大于零极小值
- 如果小于零，则无极值
- 如果等于零，无法判断
P111 最值
最值可能在哪取？一个驻点
P112 无条件极值、条件极值
例：z = f(x, y) 且φ(x, y) = 0
步骤：
- 构造辅助函数L(x, y) = f(x, y) + λφ(x, y)
- L对x求偏导，y求偏导，分别等于零，解方程组
u = f(x, y, z, t) 两个约束，步骤一样
P113 例题：
- - - - - - - - - - - chap 9 the end - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - chap 8 - - - - - - - - - - - - - -
| 第八章 向量&空间
P74 复习高中有关向量的知识+向量单位化
P75 人生哲理+右手坐标系+向量线性运算+解以向量为未知数的方程组+爪子定理
P76 向量模|r|+距离公式|AB|
P77 方向角+方向余弦+小故事+投影等于长度乘余弦
1.方向余弦即坐标向量（x,y,z）
与方向余弦同方向的单位向量即为（cosa,cosb,cosr）
2.投影性质1
性质2
性质3
P78 数量积（数乘、点乘、内积） + 余弦定理 + 直角坐标的向量点乘（分量对应相乘再相加）
点乘定义式
改写
再改写
性质五条
① a·a=|a|²
② a·b=0 ⇔ a⊥b
③ 交换律
④ 分配律
⑤ (ka)·b = k(a·b)
P79 向量积（叉乘）+直角坐标的向量点乘（写三阶行列式）
性质五条
① a×a=0
② a×b=0 ⇔ a∥b
③ 不满足交换律 a×b= -b×a（方向是反的）
④ 分配律
⑤ (ka)×b = k(a×b)
P80 平面方程：点法式+一般式
点法式（联系直线的点斜式）
(A,B,C)是平面的法向量
法一：利用叉乘，先求法线，再用点法式
法二：用一般式，解方程组
扩：克莱姆法则，行列式等于零->无穷多解
P81 一般方程+截距式
Ax + By + Cz + D = 0
D=0 过原点
A=0 平行x轴
A=B=0 平行x，y轴（垂直z轴）
法一：
法二：
截距式，a，b，c叫截距
P82 平面夹角（取锐角）+点到平面的距离公式
1.平面夹角
2.点到平面的距离公式
P83 空间直线的方程：一般方程+对称式方程+参数方程
对称方程又叫标准方程、点向式方程
例题：三种方程相互转化
一般式→对称式
①随便找出一个交点M0
②求两个平面的法向量n1和n2
③S=n1×n2（行列式）
对称式→参数方程
比值设t
参数方程→对称式
分离t，写出连等式
对称式→一般式
写开
P84 线线角+线面角
线线角:方向向量的夹角（取锐角，绝对值）cosθ
线面角:sinφ=|cos<S, n>|
P85 三道题+理解三种方程本质+平面束
1.预备知识：从三种方程中我们能得到什么信息
一般式（面面联立）
交线的方向向量：两平面法向量叉乘 n1×n2
对称式
过一点
方向向量（分母）
参数方程
直接转化成对称式
2.例题：
- 杂例 P85 - 08:30
- 求线面交点：直线转参数方程
- 杂例 P85 - 26:60
P86 球面方程
两点距离等于半径（逆过程：配方）
Ax²+Ay²+Az²+Dx+Ey+Fz+G=0
满足A≠0且D²+E²+F²＞4AG
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P87 旋转曲面
P88 柱面
P89 二次曲面
P90 空间曲线方程
| 第十一章
P132
| 第十二章
P143
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| 有关三角函数的求不定积分
| 第一类换元
| 奇数次方：往dx里扔1个
例1
例2
例3
例4
| 全是偶次：倍角公式降次
例1
例2
例3
例4
| 积化和差
| 第二类换元
例1
————e--n--d————
