《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师
行列式
- 拉普拉斯 取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和等于原来的行列式
- 异乘变零定理（暴打小三定理） 某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0，与自己的代数余子式乘积之和为原来的行列式
- 一个三阶的行列式和四阶的行列式无法相乘，因此可以直接分别算出各自的行列式的值再相乘
- 对称三角形 制造行/列和
- 加边法 加上第一行（全为1），第一列（除了第一个外都是0）
- 范德蒙行列式 (Xi-Xj)相乘
- 反对称行列式 主对角线全为零，上下位置对应成相反数，奇数阶反对称矩阵行列式为0
克莱姆法则
条件：
1，n个方程，n个未知量
2，D不等于0
Xj=Dj/D
Dj为把最后的一列替换到D的第j列得到的行列式
矩阵运算
- 乘法不满足：
AB=0不能得到A=0或B=0
AB=AC，A不等于0，不能得到B=C
2.（AB）T=BTAT
特殊矩阵
- 左乘相当于行变换，右乘相当于列变换
- 对称矩阵的乘积一般不是对称矩阵
逆矩阵
- |AT|=|A|
- |KA|=K^n|A|
- A可逆的充要条件是A的行列式不等于0
- A逆=A*/|A|
- (AB)逆=B逆A逆 与转置相似
伴随矩阵
- 只有方阵才有伴随矩阵，任意一个方阵都有伴随矩阵
- 求所有元素的代数余子式，按行求代数余子式按列放
- |A*|=|A|^n-1
- 一阶方阵的伴随矩阵为1
- （A*）*=|A|^n-2 A
分块矩阵
标准型 从左上角开始的一串1（不断），不一定是方阵
同形的对角形，上三角，下三角分块矩阵的和差数乘仍然是
初等变换
等价 A经过初等变换得到B
初等方阵 对E做一次初等变换得到的矩阵
三种初等方阵均可逆
左乘相当于行变换，右乘相当于列变换
- A、B等价
互推
存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ=B
2.A可逆
互推
A的标准型为E
互推
A可以由一系列初等矩阵的乘积表示
求逆矩阵
- 作伴随矩阵 A逆=A*/|A|
- 初等行变换法 对A和E作同样的初等行变换，当A化为E时，E就化为了A逆（注意：如果左边化不成E，则不可逆）
矩阵的秩
- 阶梯型 横线可以跨多个数，竖线只跨一个数
- 行简化阶梯型 非零行首个非零元为1，首个非零元所在列的其余元素为0
- r(A)=r(AT)
- 矩阵乘以可逆矩阵，它的秩不变
向量组的线性关系
部分相关可推出整体相关
整体无关可推出部分无关
行列式为0，线性无关，只有零解
行列式不为0，线性相关，有非零解
线性相关线性无关
1.相关
互推
至少一个向量可由其余向量表示
2.向量的个数大于向量维数时，一定线性相关。等价的线性无关组含向量的个数是相同的。
向量组的秩
- 极大无关组可以不唯一，但是任意两个极大无关组含向量的个数相同
2.行秩=列秩=r（A）
3.R(A)+R(B)-n ≤ R(AB) ≤ min{R(A),R(B)} ≤ max{R(A),R(B)} ≤ R(A:B) ≤ R(A)+R(B)
4.对矩阵A仅做初等行变换，化成矩阵B，那么A的列向量组与B的列向量组有完全相同的线性关系（初等行变换不改变列秩）
线性方程组
相似
实对称矩阵的对角化
施密特正交化
正交矩阵
实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交
相似 AB同阶，存在可逆矩阵P,P逆AP=B
正交相似 AB同阶，存在正交矩阵P,P逆AP=B
二次型
二次型的矩阵一定是对称的
标准型 只有平方项
线性替换 X=CY
如果C的行列式不等于0，叫做可逆替换
合同 A,B是n阶方阵，存在可逆矩阵C,使得C转AC=B
A,B合同，则A,B的秩相同
正交相似一定相似，正交相似一定合同
相似，正交相似，合同都一定是等价的
矩阵合同的充要条件：具有相同的秩，正惯性指数以及负惯性指数
有定性
A正定
互推
各阶顺序主子式大于0
若A正定，则A逆和A*，A^k也正定
线性空间
