关于不变子空间的两个问题

Q1：是否所有线性算子都有真不变子空间？

想象与它的一组基，与线性映射（将映到，将映到），这个映射将映射到，是一个线性算子。

但是不存在n的任意真子空间使得算子在其上的限制仍将该子空间映射到自身。

假设存在一个真子空间，使得算子满足。令的一组基为，并按照其在的那组基中的顺序排序为。则对于，，所以。（在中基的顺序同原空间的基，所以只能，或者）那么，将都经操作后，只有未被映到，所以。这种情况成立当且仅当。于是，与假设矛盾，故而这个算子没有真不变子空间。

Q2：真不变子空间外是什么？

取维空间中的个线性无关的向量，张成一个子空间，且算子不将这个向量映射到外，则是一个不变子空间。外是由的另外个线性无关的向量（这个向量又与的基向量线性无关，否则至少有一个向量在中，这与“另外”矛盾）张成的子空间，则也是一个不变子空间。所以仍是的不变子空间。因为任取两个子空间的一组基的并集线性无关，且有个向量，所以是的生成元，且两个子空间的交是零空间，所以等于这两个子空间的直和。应用数学归纳法可证若在中一个算子有个不变子空间，则。