几何原本记录的毕达哥拉斯定理（勾股定理）证明法

众所周知，数学分为代数与几何，而在解析几何出现前，二者几乎是分开的，这也是解释几何的意义。我们在高中时，也知道立体几何题往往有多种解法，可以用几何法（通常要作辅助线），也可以建立坐标系，用解析几何法。前者考验空间想象力和几何天赋，后者则是用大量运算代替对空间想象力的要求。 现在，有一只伪史任不学无术，声称几何必须要用计算，然后问我毕达哥拉斯怎么证明勾股定理的，这也是我写这一专栏的原因。

当然，我对它能否看懂不抱希望，毕竟它还说过不少笑话，比如“不是十进制就不能数数”，当我从多个方面进行反驳后，它表现出了如下智商：

“怎么有的从0到n”，可谓是一点数学知识没有，当然，它在这里大肆说不能自然获得（当然不能自然获得），之后又声称我国十进制是“天生的”：

好了，嘲笑完毕，现在开始证明： 前言 勾股定理也就是毕达哥拉斯定理，在欧几里得的数学著作《原本》 第一卷命题47。 众所周知，勾股／毕达哥拉斯定理的证明法很多，而《原本》记载的是一种几何法。 对勾股／毕达哥拉斯定理的证明，从几何角度上来证明，还是非常有意思的 毕达哥拉斯定理的定义： 在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。 下面讲 《原本》中对毕达哥拉斯定理的证明方式 如同 老爹说的一样： ”要用魔法打败魔法“ 我们也 要用几何证明几何 在证明中我们要用到如下三个辅助定理（只涉及初中数学知识）： 1.全等三角形判定方法：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等. 在这里插入图片描述 2.三角形面积是其与之 同底同高的平行四边形面积的一半。在这里插入图片描述 3.正方形的基本性质： 正方形的四边长度相等 正方形的面积等于其二边长的乘积（即 一边长的平方） 在这里插入图片描述 设计如下图

在这里插入图片描述 设△ABC为一直角三角形， 其中A为直角。 在△ABC各边上向外做 正方形 ABFG, ACIH,BCDE. 从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为 二，其面积分别与其余两个正方形相等。 所以正方形BCED的面积 = 长方形BDLK的面积 + 长方形KCEL的面积 我们只要证明 两个小正方形面积之和等于 大正方形的面积 即 BC² = AB² + AC² 就行了 证明开始 分别连接 CF,AD，形成两个三角形 CBF, DBA 由正方形FBAG 和 正方形BCED 可知： FB = AB, BC = BD, 角FBA = 角CBD = 90度 角FBC = 角FBA + 角ABC,角ABD = 角CBD + 角ABC, 所以 角FBC = 角ABD 根据 三角形 全等 SAS定理 △FBC 全等于 △ABD 再根据辅助定理 ：三角形面积是其与之 同底同高的平行四边形面积的一半 △FBC 同底同高的平行四边形是ABFG △ABD 同底同高的平行四边形是BKLD 所以 正方形ABFG的面积 = 长方形BKLD的面积 再分别连接 BI,AE， 形成两个三角形 ACE,BCI 由正方形ACIH和正方形BCED 可知： BC = CE,AC = CI,角ACI= 角BCE = 90度 角BCI= 角ACI + 角ACB, 角ACE = 角BCE + 角ACB, 所以 角BCI = 角ACE 根据三角形 全等 SAS定理 △BCI 全等于 △ACE 再根据辅助定理 ：三角形面积是其与之 同底同高的平行四边形面积的一半 △BCI 同底同高的平行四边形是ACIH △ACE 同底同高的平行四边形是KCEL 所以 正方形ACIH的面积 = 长方形KCEL的面积 因为 正方形BCED的面积 = 长方形BDLK的面积 + 长方形KCEL的面积 所以 正方形BCED的面积 = 正方形ABFG的面积 + 正方形ACIH的面积 又因为 正方形的面积等于其二边长的乘积 所以BC² = AB² + AC² 即 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 ** 证讫 **