Strongart教授：代数几何的初级参考书

  很多人都觉得代数几何很难入门，下面Strongart教授就来发一份代数几何的初级书单。这里所谓的初级，主要是指代数上不涉及概型（scheme），也不用层论上同调等工具，几何上不涉及深刻的复几何定理，也不考虑太多奇点、相交、向量束、moduli等复杂结构，主要就是最简单的代数簇理论。

 

    先看一本最最最初级的代数几何书：

    【0】Garrity T A. Algebraic geometry: a problem solving approach[M]. American Mathematical Soc., 2013.

    这是难得的习题书，所收录的内容都是最简单的，序言中提到此书适合三类人：一是学过微积分与线性代数的人，适合认真学习此书；二是学过一点抽象代数的人，可以把此书拿来玩；三是坐飞机的数学家，想知道点代数几何可以翻翻。总之，此书可以说是科普级的，好处是容易上手，可读完后也就是有点小印象，还不能算是入门。

 

    接下来，我们看正式的代数几何参考书，学习这些至少要懂基本的抽象代数，最好是专门学过交换代数。

    【1】Reid M. Undergraduate algebraic geometry[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1988.

    一本代数几何的本科教材，叙述简明而又富有趣味，甚至把joke也作为书末的索引。此书对必要的交换代数有简要回顾，尽管内容偏少，但难得引入了范畴语言，还介绍了三次曲面上的27条直线，最后点明了代数几何的历史与未来。

   

    【2】Kendig K. Elementary algebraic geometry[M]. Springer Science & Business Media, 2012.

    比较忠实的代数几何初级参考书，细致讲解了代数簇与代数曲线的很多初级话题，非常好的平衡了理论与实例，学完后可以有一个比较扎实的基础。

 

    【3】Smith K, Kahanpää L, Kekäläinen P, et al. An Invitation to Algebraic Geometry[M]. Springer Science & Business Media, 2004.

    短小精悍的代数几何参考书，主要是对代数几何的初级理论做一个鸟瞰，有比较多的概括性叙述，但有些定理没有仔细证明，比较适合用来小结与提升。

 

    【4】Ueno K. An introduction to algebraic geometry[M]. American Mathematical Soc., 1997.

    看图说话的代数几何参考书，公式实例比较丰富，还涉及一些算术与解析领域的内容，不是很难但需要有点耐心。

 

    【5】Harris J. Algebraic geometry: a first course[M]. Springer Science & Business Media, 2013.

    完全是实例导向的代数几何参考书，通过对例子的操作带出必要的理论，习题与正文混编，有耐心完成的话，可以得到比较强的动手能力。实际上，它的很多例子都涉及比较深入的理论，以后学深了回头再查也是不错的选择。

 

    【6】Shafarevich I R, Hirsch K A. Basic algebraic geometry[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1994.

    代数几何的经典教科书，对理论与实例做了新的编排，内容均衡而又全面，有些人拿它来平衡Hartshorne，但实际上也有一定的难度。

 

    【7】Milne J S. Algebraic geometry[M]. Allied Publishers, 1996.

    高观点下的代数几何初级参考书，可以看到一些相对深入不常见的内容，有些讲法似乎是从概型理论中下载的。

 

    初等代数几何的参考书，大都包括理论（代数簇）与例子（代数曲线）两部分，因此有些代数曲线的参考书也比较适合学习。

    【8】Fulton W. Algebraic curves[M]. Université de Versailles, 2005.

    代数观点下的代数曲线参考书，从基本的代数集讲起，对代数簇的介绍还是比较细致的。

 

    【9】Griffiths P. Introduction to algebraic curves[M]. American Mathematical Soc., 1989.

    几何观点下的代数曲线参考书，不需要太多代数基础，从黎曼曲面开始，一直讲到Abel定理等相对深入的内容。

 

    最后，我们看一本线性代数群的参考书，它自带简明的代数几何基础。

    【10】Humphreys J E. Linear algebraic groups[M]. Springer Science & Business Media, 2012.

    线性代数群的经典参考书，前六章是代数几何的基础小结，适合学完初等代数几何后拿来小结提升，感觉好的话可以继续学代数群啊~