拉格朗日中值定理证明里的逆向思维

牛顿383、拉格朗日中值定理证明里的逆向思维

 

拉格朗日中值定理的辅助函数是怎么来的呢？——网友提问

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…拉格朗日中值定理：见《牛顿376~382》…

 

“需要各位指点一下 谢谢”网友补充说。

 

…
半个冯博士（发布于2020-09-03 01:04，100人赞同了该回答）：

这个就是典型的逆向思维，别想多了。

逆向思维就是：

Lagrange的目的是为了证明f’（ξ）=[f（b）-f（a）]/（b-a） （1）

…思、维、思维：见《欧几里得22》…

…目、的、目的：见《欧几里得195》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母，中文音译：克西。

小写ξ用于：数学上的随机变量…

…f’（ξ）：函数f（ξ）的导函数…

这个式子不方便构造新函数去满足罗尔定理，所以改一下：

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…罗尔定理：见《牛顿367~375》“罗尔中值定理”…

f’（ξ）-[f（b）-f（a）]/（b-a）=0                       （2）

 

这下就很明显了。罗尔定理要找的函数最终是要得到g’（ξ）=0

 

而（2）式左端的函数刚好就是这个函数的导数：

…导、数、导数：见《牛顿288~295》…

 

g（x）=f（x）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·x

 

[“函数g（x）的几何意义见下图：”现代学者说。

“f（x）曲线在新坐标系y’Ox’的样子，就是g（x）曲线。”现代学者说，“这在《牛顿381》详细介绍过。”]

 

接下来验证一下罗尔定理的条件（左右端点函数值相等）：

g（a）=[bf（a）-af（b）]/（b-a）=g（b）

 

并且显然它可导，于是，根据罗尔定理，有：

…可导：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导…见《牛顿360》…

 

g’（ξ）=f’（x）-[f（b）-f（a）]/（b-a）=0     （3）

 

那么也就相当于证明了（1）式成立。

DrZXY（发布于08-08 03:14）：几何上的观察，容易发现，该定理就是坐标系旋转后的罗尔定理。

由于新旧坐标存在对应关系，则新坐标的存在性即可说明旧坐标的存在性，因此辅助函数即为新坐标中的函数。

…关、系、关系：见《欧几里得75》…

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

…说、明、说明：见《欧几里得149》…

“对于拉格朗日中值定理的证明，北大教材一个版本，清华教材一个版本，同济教材又一个版本。而这个做法跟那三个都不一样。仔细一看会发现一个非常搞笑的事。

请看下集《牛顿384、假设你是拉格朗日，你会这么干…》”

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