Möbius(莫比乌斯函数)的推广形式

以下内容以及演绎思路参考自李文威的《代数学方法》卷1第5章

初识自然数上关于"|(整除)"关系的莫比乌斯反演时总觉得不够自然，看完此章后终意平。

（note：阅读需要有一点点的抽象代数基础（大概？

首先给出偏序集的定义：

偏序集  ,P是一个集合，是一个二元关系，满足：

反身性：

传递性：

反称性：

若 是一个偏序集，且 ，有：

为有限集

那么称 该偏序集为一个局部有限偏序集。

我们在一个局部有限偏序集上 构造环结构如下：

映射

  ，其中Q为我们熟知的有理数域

所有的组成一个集合，在其上定义加法运算"+"与乘法运算""

显然中关于加法是封闭的结合的，交换的，零元为

 的加法逆元为

所以为交换群；

关于，封闭是显然的，下证结合律：

（note：局部有限性使得上述等式的成立

我们再定义

容易验证此中的乘法单位元。

综上为幺环。

首先给出3个等价的性质：

1. 有左逆元

2. 

3. 有右逆元

proof:

定义:

当（2.）成立时对任意唯一的确定了

显然 ，由逆元的唯一性(1.)(2.)

右逆元形式可类似构造，并且易知左逆元就是右逆元。

现在在上考虑元素：

显然

终于，我们可以定义莫比乌斯(Möbius)函数了：

当然的根据定义有：

现在我们来回顾莫比乌斯反演：

设为任意交换群，为偏序集满足：

为有限集，

显见为局部有限偏序集。

给出函数，则

(note:这里可以视作在上的群作用，或者将看作上的向量空间）

证明方法与经典情形类似，仅证左推右：

根据交换群上的运算可以写成乘积形式或者是和式，它们的本质没有区别。

此即为推广形式的莫比乌斯反演，现在我们希望用它来得到上的经典情形的莫比乌斯反演。

首先引入直积形式：

考虑一族局部有限偏序集

令

显见为局部有限偏序集

简记

在上定义

易见

这个确实为前述定义的莫比乌斯函数。

现在分别在与上考虑：

大于0的所有整数关于数的小于等于关系当然构成局部有限偏序集，而大于等于1的整数关于数的整除关系也构成局部偏序集。

在上考虑

那么易证导出的莫比乌斯函数。

现在来构造一个的双射

任意一个大于0的整数n有唯一的有限的素因子分解

，那么为双射

（note：若要严谨的表述这个双射以避免有限与可列的混淆，其实要构造一个几乎处处收敛于该积偏序的偏序，但引入测度等概念过于麻烦，即使不引入也不影响对该双射的理解）

该映射将上的莫比乌斯函数映射至熟知的情形：

考虑与在同一个素因子上的幂，时该处的莫比乌斯函数返回1，幂次相差1且时该处的莫比乌斯函数返回-1，其他情形返回0，有一个0则整个，这相当于是说，n不整除m时，以及有平方素因子时.

这其实就是我们熟知的莫比乌斯函数，我们直接给出它在上的形式：

记

对于交换群以及任意函数

此为大家熟知的形式，它的应用前人之述备矣。

结束.

关于本人的个中推导以及理解也可能有错误的地方，欢迎指正与讨论！

听说李文威老师的《代数学方法》计划选入北大本科的代数教材，可太劲了；我个人觉得《代数学方法》比起教材更像一件艺术品就是了。

有空再更这本上其他有趣又精妙的内容吧，感觉这本用很多更能展现本质的等价定义让我重新认识了一些代数结构，可以说是受益匪浅。