音律中的数学
话题：#数学# #音乐#
小石头/文
简谐震动，其产生的波也是最简单的波称为 简谐波
图中，质量为m滑块在光滑的水平面上来回震动，t 时刻滑块处于 y(t) 位置，根据，
牛顿第二运动定律：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且 加速度的方向跟作用力的方向相同；
有，
设 滑块在 0 位置 弹簧处于松弛（既没有挤压也没有拉伸）状态，根据，
胡可定理：在弹性限度内，弹簧所受的拉力与形变量成正比；
又有，
其中 k > 0 称为 弹性系数
这样以来就得到，
令，c = √(k/m) ，则有，
这是一个齐二阶线性微分方程，由 sin't = cos t 和 cos't = -sin t 有，
知，
线性微分方程通解定理
其中 a 和 b 是任意常数。然后，根据 初始条件 y(0) 和 y'(0) 可确定，
勾股定理
知道，总是存在 A > 0 和 φ 使得，
于是有，
和角公式
最终，可得到，
这说明，最简单的波 是一个 正弦函数，其中 A 称为 振幅， φ 称为 相位，c 称为 自然频率， c/2π 为频率， 2π/c 为 周期。
自然界中，有些声音听着让人不舒服，比如：马路上的噪声，而有些声音却让人愉悦，比如：琴弦上发出的乐音，我们不禁会问：为什么乐音让人愉悦呢？为了搞清楚这个问题，需要 进一步 分析 琴弦 的具体波动情况。
不妨设，长度为 L 的 琴弦 水平放置如下，
对于其上任意一点 x ，因为 琴弦是绷紧的，所以 我们 忽略 x 左右震动 产生的 横波，只考虑 x 上下震动 产生的 纵波，可设 y(x, t) 为 x 点 在 t 时刻 的 竖直 位置，又设 琴弦的 质量是 m 并且是 质量均匀的，于是 琴弦的 密度为：
再 在琴弦上，取以 x 为起点的 长度为 h 的微元，则 该微元 的 质量就是 hρ，由于 微元 非常小，于是可认为 x 就是微元的位置，于是，根据 牛顿第二定理有，
设 T₁ 和 T₂ 分别为微元两端的张力大小，于是 微元在 数值方向的 所受的力为，
由于 琴弦绷的足够紧，我们设定：
琴弦上的张力大小处处相等 都是 T；
角度 ɑ₁ 和 ɑ₂ 非常小，使得 sin ɑ₁ ≈ tan ɑ₁ = ∂y(x, t)/∂x，sin ɑ₂ ≈ tan ɑ₂ = ∂y(x+h, t)/∂x；
于是有，
与前式联立有，
等式两边对 微元 取极限 有，
波动方程
这是一个 二阶偏微分方程，观察发现微分变量 t 和 x 分属于 等号两侧，这样 如果 y(x, t) 是变量分离的，即，
则代入方程有，
于是得到，
等号两边是不相关的不同变量的函数，它们相等的唯一可能就是二者都是常函数，不妨设为 -k²，既有，
于是得到，
这就是前面的齐二阶线性微分方程，它们的解分别是：
由于琴弦的两头是固定的，于是有 ψ(0) = ψ(L) = 0， 进而有，
此时 q ≠ 0 ，否则 ψ(x) = 0 进而 y(x, t) = 0 ，矛盾，而又有，
故只能是，
于是，
进而，
考虑到 时间为 正，故 n 取所有 正整数，这样就得到偏微分方程的所有特解为：
又观察到，
若 F(x, t) 和 G(x, t) 是 偏微分方程，则 F(x, t) + G(x, t) 也是 偏微分方程 的解；
于是微分方程有解（其实也是通解），
对其中任意一点x来说，震动波为：
可见 琴弦上没一点的震动波 都是由 频率 分别是 f 的正整数倍数的 正弦波 组成，而不是任意频率的杂乱叠加，因此这才听起来 让人愉悦。也就是说：
悦耳的声音是由 频率 成整数比例的正弦波叠加而成的；☆
这些波称为谐波。其中 n=1 的 谐波 称为 基音 琴弦的主音，其频率是（频率公式），
音乐不是单独的音，而是多种不同的音的组合，所以我们需要挑选一些音符用来构成音乐。
根据以面结论☆，除了1:1 自己和自己 绝对和谐外，谐波的最小比就是1:2了，于是🈶：
这样就得到了 一条 相隔 纯八度 的音列，例如：若 令 f 是 do 则 2f 就是 高音do，f/2 就是 低音do。
当然，这个音列不可能 无限延申，根据物理实验，人可以听到的声音范围 20Hz 到 20KHz，而 由 log₂ 20000 - log₂ 20 ≈ 9.96 知 这个音列最多只能有 10 个音，这远远不够 音乐演奏的需求，于是我们需要对每个纯八度再进行分割，分出更多的乐音来。
为此，利用更大一些的谐音比 1:3，可得音列：
对其中每一个音，可再次使用谐音比是1:2 得到一个序列：
再在每个序列中，取频率在 f 到 2f 之间的音，得到，
这些音由于是间接上的谐波，所以组合在一起听起依然悦耳！
当然我们也不能无限的 对 f 到 2f 进行细分，于是 需要让上面的序列 周期重复，恰好当算到第12项时发现，
也就是说，
于是 将 3¹²f/2¹⁹ 改为 3¹²f/2¹⁸ 并视作 2f，并将前12项 按照从小到大排列🈶：
半音
发现 比例只有 3⁷/2¹¹ 和 2⁸/3⁵ ，而 3⁷/2¹¹ ≈1.068≈1.053≈2⁸/3⁵，所以，上面的音列，基本上可视为 等比序列。
这就是 五度相生律 的 数学原理。其中，3f/2 大概在 5/8 的 地方，所以 从 f 到 3f/2 称为 纯五度，这是五度相生律得名由来。
上面 在分割 八度 时，只利用了1:2 与 1:3 的谐波组合，由 f 得到：
纯八度： 2f
纯五度： 3f/2
可是，实际上，还有更多的 谐波组合：
纯四度：4f/3
大三度：5f/4
小三度：6f/5
大六度：5f/3
小六度：8f/5
以这些音为主干，再插入5个音，让其近似等比序列，得到🈶：
纯律。
不管是 五度相生律 还是 纯律，半音之间的比都不是 完全相等的，这导致 乐曲 转调后 音高关系 变形，为了解决这个问题，最后干脆将 f 到 2f 绝对（对数意义下）平均等分 为 12份，即🈶：
这称为 十二平均律，也就是当今使用的音律了。
这里需要注意：现在所谓，音差，等分, ... 都是 对数意义下的，实际指的是，音比，等比，...那么，为什么要 这样叫呢？因为：由于，频率比例表示不方便，后来人们令 logₐ(2f/f) ＝1200，这样 logₐ r＝100 ，于是十二平均律可表示为（令 f = 1）：0，100，200，...， 1100，1200这样就方便多了。
在实际应用中，不管采用哪种音律，音律的结构都是差不多的，都是：
先将整个音程分为八度组，然后将每个八度组再分为12个音；
所不同的是这些音对应的实际频率略有差别，下面 以十二平均律为例，具体如下：
首先，由 人的 听力范围 20Hz 到 20KHz，可计算出，
于是，中央频率为：
这应该 对应 中央八度 f₀ 到 2f₀ 的 中间音 r⁶f₀ = (¹²√2)⁶f₀ = √2f₀ ，于是可以算出，
然后，就是需要标识音符，以钢琴为例，我们用 英文字母 a, b, c, d, e, f, g 分别表示 八度中的 前 7 个，用上标表示八度组的组号，最中间的中央八度规定为第1组，于是 整个音程 可标识为，
为了书写方便，对低于中央八度的组，进行如下调整，
用大小字母和下标，重新表示 负上标音符，即，x⁻ⁿ → Xₙ₋₁；
标号0省略不写，即，x⁰ →x，X₀ → X；
调整后得到，
由上面的计算知 a¹ = f₀ ≈ 445.5 Hz，为了计算简单，我们规定 中央A 为：
最后，音符最终要被制造成乐器的，前面 琴弦主音 的 频率公式 告诉我们：
当频率升高时，弦长就要缩短；
琴弦做长简单但是做短难，例如：
中型立式钢琴最高音 c⁵ 仅仅只有 5cm 长，而 c⁵ 的频率 440×2³×(¹²√2)² ≈ 3951Hz 距离 2KHz 还有很远。
除了，工艺上高音的限制外，过高的音也比较刺耳，听着并不好听，因此实际 乐音八度分组 是向低音 偏移的，大概会偏移 五度左右，也就是说，低八度组的后面五个音，会被划归高八度组，于是得到：
这样八度组的音符排序就变为：
注：分别唱为 do, re, mi, fa, sol, la, si/xi，简谱记为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。
这样 5个音符 插入如下，
这样算下来，中央C 的 频率为，
现在，钢琴的实际分组如下：
注：有多种标记音符的方法，这里只介绍了其中一种。
我国早在春秋中期 时期就发现了 五度相生律，称为三分损益法 在 《国语》、《管子》、《吕氏春秋》中 均有描述，方法如下：
设 弦长为 L（频率 f），称为 宫；
对 宫 “三分损一”（分三份去掉一份，原来的2/3）得到 弦长 2L/3（频率 3f/2），称为 徵；
对 徵 “三分益一”（分三份增加一份，原来的2²/3）得到 弦长 2³L/3²（频率 3²f/2³），称为 商；
对 商 “三分损一” 得到 弦长 2⁴L/3³（频率 3³f/2⁴），称为 羽；
对 羽 “三分益一” 得到 弦长 2⁶L/3⁴（频率 3⁴f/2⁶），称为 角；
将其按照频率大小排列，并和 前面的五度相生律原理中的序列，以及八度的7个音，比较得到：
f（宫c），3⁷f/2¹¹（#c），3²f/2³（商d），3⁹f/2¹⁴(#d)，3⁴f/2⁶（角e），3¹¹f/2¹⁷（f），3⁶f/2⁹，3f/2（徵g），3⁸f/2¹²（#g)，3³f/2⁴（羽a），3¹⁰f/2¹⁵（#a)，3⁵f/2⁷(b)，3¹²f/2¹⁸≈2f（高音 宫1）
实际使用时，我国古人 将 琴弦 分为 九九八十一 份，则：
宫 81 份， 徵 81 × 2/3 = 54 份，商 54 × 2²/3 = 72 份，羽 72 × 2/3 = 48 份, 角 48 × 2²/3 = 64 份
这样 很简单 就得到了 宫商角徵羽 五个音的 琴弦了。
五音毕竟有些单调，汉唐时期又将其扩充为 12 个音，分别命名为：
黄钟（宫c），林钟（徵g），太簇（商d），南吕（羽a），姑冼（角e），应钟（b），蕤宾（#f）；大吕（#c），夷则（#g），夹钟（#d），无射（#a），仲吕（f）
从 3⁴f/2⁶（角）接着继续，
再 “三分损一” 就是 3⁵f/2⁷ （应钟b）；
再 “三分益一” 就是 3⁶f/2⁹ （蕤宾#f）；
然后继续，
再 “三分益一” 就是 3⁷f/2¹¹（大吕#c）；
再 “三分损一” 就是 3⁸f/2¹²（夷则#g）；
再 “三分益一” 就是 3⁹f/2¹⁴（夹钟#d）；
再 “三分损一” 就是 3¹⁰f/2¹⁵（无射#a）；
再 “三分益一” 就是 3¹¹f/2¹⁷（仲吕f）；
再 “三分损一” 就是 3¹²f/2¹⁸≈2f （清黄钟）；
这样就生成了上面的全部12个音。
比我国稍晚，古希腊的毕达哥拉斯也发现了 五度相生律，不同它的生成方法有些许区别：
开始部分和 三分损益法一样（利用 f, 3f, 3²f, ... 序列）从 c 生成到 #f 得到 7 个音，然后转向（利用 ..., f/3², f/3, f 序列）生成 另外 的 7 个音，具体方法如下，
与前面的原理类似，利用 1:2 关系，将 f, f/3, f/3², ... 调整到 f 和 2f 之间，得到：
因为 2¹⁰f/3⁶ ≈1.40f ≈ 1.42f ≈ 3⁶f/2⁹ 所以看作一个音，从而 完成序列的循环闭环。对应操作为，
对 原始琴弦 L（频率 f） 进行 “四分损一”（即 原来的3/4）得到 弦长 3L/2² （频率 2²f/3）≈（仲吕f）；
再 进行 “四分损一” 得到 得到 弦长 3²L/2⁴ （频率 2⁴f/3²）≈（无射#a）；
再 进行 “二分益一”（即 原来的 3/2）得到 得到 弦长 3³L/2⁵ （频率 2⁵f/3³）≈（夹钟#d）；
再 进行 “四分损一” 得到 得到 弦长 3⁴L/2⁷ （频率 2⁷f/3⁴）≈（夷则#g）；
再 进行 “二分益一” 得到 得到 弦长 3⁵L/2⁸ （频率 2⁸f/3⁵）≈（大吕#c）；
再 进行 “四分损一” 得到 得到 弦长 3⁶L/2¹⁰ （频率 2¹⁰f/3⁶）≈（蕤宾#f）；
这样也就生成了12个音。
再到了明朝，律圣 朱载堉 创建 了 十二平均律，之后传到 欧洲 被 巴赫 和 贝多芬 等音乐家广泛使用，最后成了现在的主要音律。
（好了，就写这么多吧！小石头这时第一次在B站发表正式的专栏文章，难免有出错的地方，欢迎各位大佬指出！）
附录 A
第一个齐二阶线性微分方程，也可以这样解：
利用 (eᵗ)' = eᵗ，设 y(t) = eˣᵗ 代入方程得到 ，
由于 eˣᵗ ≠ 0 ，故 x² + c² = 0 ，而 c > 0，于是有 x = ±ic，这样就 得到了 微分方程的两个线性无关解，
线性微分方程通解定理
欧拉公式
有，
若 令 a = c₁ + c₂, b = (c₁ - c₂)i，则有，
附录 B
受前面琴弦波动方程推导过程的启发，我们有：
由，
有，
，代入上式，并利用 - h → 0 ⇔ h → 0
即得到，
附录 C
中 找循环时，我们用的是用算的方法，但其实也可以更数学一些，实际上，我们只需要寻找 自然数 n 和 m 使得：
也就是，
即可。由于等号右边 log₂3 是无理数，所以左边的有理数只能逼近。由 log₂3 ≈ 1.5849625，我们可以将右边 化成连分数：
这样就得到 log₂3 的 有理数逼近序列，
除了 1 对应 第0项 f 不算，选择 19/12 是第一个对应序列中 第12项 3¹²f/2¹⁹ 的，所以就选它了。
【END】
