Perron-Frobenius定理

Perron-Frobenius定理

        1907年，德国数学家奥斯卡·佩龙(Oskar Perron)发现了关于正矩阵谱的一些有趣性质，格奥尔格·弗罗贝尼乌斯(Ferdinand Georg Frobenius)则将其推广到不可约非负矩阵的情形。数学家们关于Perron-Frobenius定理的大量文献，引起了数理经济学家们的广泛注意。投入产出模型中因为系数矩阵的特性，使该定理对于投入产出数理性质的分析能够提供重要的分析工具。

        Perron-Frobenius定理的核心内容如下：

        如果A是一个不可约非负方阵，则A总有正的特征值λ*(A)，它是特征方程的单根，称为A的Perron-Frobenius根(PF根)，所有其他特征值的模都不超过PF根（这意味着可能存在模与PF根相等的一个特征值），该特征值对应一个正的特征向量，在标量乘法的意义上，该特征向量是唯一的。

        如果放松不可约的假定，A只是一个非负方阵，那么A的PF根及相应的特征向量符号上也相应放松。其中PF根非负，且不必是单根。对应于半正的特征向量，其部分（不是全部）元素可能为0，而且不唯一。因此非负矩阵的PF根等于它的谱半径，只是在可分解的情况下，λ*(A)可能为0，且不能保证为单根。

        Perron-Frobenius定理有很多种证明，例如德布鲁与埃尔斯坦(G. Debreu and I. N. Herstein)利用布劳沃不动点定理的证明，维兰特(H. Wielandt)与二阶堂利用紧集极值存在性的证明。

        维兰特的证明在各种数学和数理经济学教材中被广为介绍。尽管与德布鲁的简洁证明相比要麻烦得多，但维兰特的证明被公认为是一个非常优美的证明。