Abaqus/Standard应用Newton-Raphson算法解决非线性问题，木木本期就为同学们“尽可能”全面讲解该算法，从Abaqus内部算法到数学问题中的非线性方程Newton-Raphson算法理论，最后结合具体非线性方程给出相应的代码，如此一来，更加生动地演绎Newton-Raphson迭代过程。

Abaqusd的Newton-Raphson算法

在Abaqus隐式求解时，将载荷划分为一定数量的增量步(increments)施加于结构，每个增量步结束时寻求近似平衡解，若干次迭代后才能获得最终平衡解。Abaqus/Standard组合了上述增量和迭代过程。

Abaqus/Explicit中，默认情况下时间增量步大小完全是自动选取。在求解非线性问题时，不需要形成切线刚度矩阵，需要的是一个小小的增量步，只依赖与模型的高阶自振频率，与载荷类型和加载时间无关，无需迭代即可获得解答。

增量步和迭代步：

Abaqus/Standard可以让用户指定初始增量步大小，后继计算过程中系统会自动选择增量步的大小，在每个增量步结束时，结构处于近似的平衡状态，将计算结果，写入到.odb文件中。

平衡迭代和收敛：

在第一个增量步载荷中，Abaqus/Standard基于结构的初始构形和结构初始刚度和计算关于结构的位移修正值，基于将结构的构形更新为。

在更新后的构形，形成新的切线刚度，进而计算新的内部作用力，总载荷与内部作用力差值记为残差力：

线性问题中，残差力在模型每个自由度上均为 0 ，结构处于平衡状态。在非线性问题中，Abaqus/Standard将残差力与设定的容许值（容许残差）进行比较，若小于容许残差值，则就是结构在所施加载荷下有效的平衡构形，除此之外，Abaqus/Standard还要检查位移修正值是否相对于总的增量位移很小。若大于增量位移的,将进行下一次迭代。上述两个条件都满足后，才认为结果是收敛的。

默认的容许值在整个时间段上作用与结构上的平均力的。在整个模拟过程中，Abaqus/Standard会自动地计算平均力。

Newton-Raphson（N-R）迭代法的原理

Newton-Raphson（N-R）迭代法主要以分步逼近的方法计算，在每一增量步中，采用已得到的位移值带入并求得与位移有关的切线刚度矩阵的值，再进行线性计算，反复调整计算的载荷值与设定载荷值的差进行迭代，使其达到设定的精度。

主要步骤

Step 1：将总外载荷$\bar{P}$分为一系列的载荷段， 

Step 2：在每个载荷段中进行循环迭代，直到在该载荷段内收敛。 每个迭代步中刚度方程为：  式中的表示第个载荷步。

Step 3：将所有载荷段循环迭代，并将结果累加。

缺点：Newton-Raphson（N-R）迭代需要每次形成切线刚度矩阵，带来比较大的计算量，这也是隐式分析相对于显示分析计算时间大大增加的重要原因。

修正方法：在自己非线性有限元编程时，可以将上述迭代过程稍加修正，将每次迭代时的切线刚度矩阵换做初始切线刚度矩阵，并且在迭代时保持不变，即可大大减少计算量，修正方法如下图所示：

求解非线性方程的Newton-Raphson算法

数学解释

非线性方程的根记为 ，按照牛顿迭代法：

牛顿迭代计算流程：

Newton-Raphson迭代算法：

实例详解

例：利用Newton-Raphson算法求解函数在 3.8 附近的零点。

以上就是木木分享关于Newton-Raphson算法相关的解释，希望对初学者对于Abaqus有进一步的理解，本文涉及的理论及代码来自以下参考文献，进一步了解还需要翻阅这些书籍。

参考文献：

[1] 庄茁. ABAQUS非线性有限元分析与实例[M]. 科学出版社, 2005.

[2] 曾攀. 有限元基础教程[M]. 高等教育出版社, 2009.

[3] 占海明. MATLAB数值计算实战[M]. 机械工业出版社, 2017.