关于拉马努金求和的一点说明

事情的起因是这样子的：

8月9号，我随手做了一个讲述全体自然数之和是负数的视频（视频链接放在专栏里了），本意是用大家都能理解的方式介绍一下一例简单而且看起来很有趣的拉马努金求和的例子。然而，有很大一部分人没有能够理解视频中的操作，我在评论区里的解释也没能完全打消大家的疑虑，甚至有的人对我反唇相讥，说我的数学水平不如小学生、建议回幼儿园重修云云，私信喷我民科的也有那么几个。我承认，我确实不是数学专业的，但是，私以为这种问题以我的水平完全能够拿捏，并且我在视频里对这个问题的解释是没有问题的，如果耐心看完了视频以及我在评论区的解释，是不会对这个问题有所怀疑的。为了防杠，我把这个问题单拎成一篇专栏，重复并补充一下我之前的观点。

首先，毫无疑问的是，全体自然数之和肯定是发散到正无穷的，那么，视频中-1/12的结论又是从何而来呢？这里就必须要提到拉马努金求和这个数学工具了，它存在的意义就是为发散的级数人为地赋一个收敛的值，这个值被记作拉马努金和。注意，是赋值，不是取等！因此，严格来说，-1/12前面的等号不是等号，应当被写作是一种类似于小学都见过的“定义新运算”式的新符号。

可能有的人听到这更加迷惑了：这是什么操作？没见过。实际上，这只是求和的定义发生了变化，由柯西和（一般都用这个）变成了拉马努金和。柯西和就是最简单的那个求和方式，满足柯西收敛准则（学过高数都知道，懒得写了）

在柯西和的基础上，进行第一步推广，得到Cèsaro和的定义（懒得打成公式了，凑活着看看）：

对于数列{a_n}，定义部分和S_n=∑a_k,(k从1取到n)，定义新数列{b_n}：b_n=(∑S_k)/n，(k从1取到n)，若b_n有极限且收敛到数b，则称b为无穷级数∑a_n的Cèsaro和

在stolz定理成立的条件下，易证柯西和存在，则Cèsaro和存在，且与柯西和相同。

但是有些时候，柯西和不存在，但是Cèsaro和存在，比如1-1+1-1+1-1+……，其Cèsaro和值为1/2（自行验证）

再往后走，进行第二步推广，定义Abel和：

将{a_n}作为函数项系数f(x)的各项系数，若x从左边趋于1时f(x)极限存在，则记这个极限为无穷级数∑a_n的Abel和

可以证明，Cèsaro和存在，则Abel和存在，且与Cèsaro和相同，因为up比较懒，证明就不写出来了（有点长）。

然而，即使是我们把求和的定义推广到了Abel和上，关于1+2+3+……这个无穷级数依然是发散的。为此，我们要接着往下引入拉马努金和的概念。

由于up主数学水平有限，暂时还没想出怎么通俗易懂地引出拉马努金和的概念，因此，下面几段的东西可能有些超纲，遭不住的请直接跳过看最后结论。

首先，我们给出一个引理，欧拉-麦克劳林公式：

对于任意的函数f(x)，其关于x的前n项和可表示为如下式子：（懒得手打了，网上截的，侵删，后面公式同理），其中的B_n为伯努利数（不知道的请自搜，感谢）。

证明略，请自搜。

改写一下上面的式子：

然后再把积分拆分成0到1和1到n两段，把所有和n相关的项移到等式左边：

然后，我们就会发现，等式右边出现了一项和n没关系的值，我们定义它为发散级数∑f(x)的拉马努金和。(如果∑f(x)发散的话)

还有一种思路，是通过复分析的方式给出的拉马努金和的定义，大致做法是拓展函数解析延拓之后的定义域，结果与上式相同。

值得注意的是，由于欧拉-麦克劳林公式只对能被幂函数表示的解析函数使用，所以在一些情况下的拉马努金和并非上面的形式，需要加入余项。

取f(x)=x，带入左式易得，全体自然数之和对应的无穷级数的拉马努金和为-1/12。

观察拉马努金和的定义，不难发现，这个求和方式实际上对应的是在柯西求和意义下无穷级数的部分和，虽然也可以验证对于收敛级数其拉马努金和与柯西和相同，但是，倘若级数发散，这两者的意义就会产生天翻地覆的差异。

下面是一些Q&A：

Q:视频里得出-1/12的方式是否不严谨？

A:当然不严谨，很多地方都有问题，比如上来假定的1/2，比如错位求和等等，但是这种方式确实是最直观的能够得出-1/12这个结论的方式，也是最有趣的（我要是把上面这一大坨东西往上放还能有播放量吗。。。）

Q:为啥物理里面会有应用？

A:这个问题我还在想，暂时给出的结论是可能这种计算方式与量子物理中叠加的想法比较接近？不过，这个数学概念在物理应用出来之前就有了，所以没有因为物理所以要改变数学这么一种讲法~

Q:为啥会想到定义这么一种求和方式？

A:不知道，问我不如问拉马努金去（doge）

Q:为啥要做这个视频？

A:实际上我最近在整理拉马努金的生平经历，翻到这个了，兴起做了一个视频罢了（可以看看我之前两个视频，都是科学家生平相关的，我本人对这一块的东西挺感兴趣）

就这样吧，有问题再补充~