古典微分；没有严谨性的数学，将什么都不是

牛顿325、古典微分；没有严谨性的数学，将什么都不是

微分到底是什么意思？实际意义是什么？——网友提问

…微、分、微分：见《牛顿321~323》…

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

湖心亭看雪（编辑于2018-01-25，2584人赞同了该回答）：

…

2.1 古典微分

…典、古典：见《牛顿170》…

 

先给大家做个简单的介绍。

…简、单、简单：见《伽利略13》…

（…《伽利略》：小说名…）

 

出于对函数变化趋势的研究需要，数学家们迫切想要知道函数在某一点处的变化值是多少。

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…变、化、变化：见《伽利略10》…

…研、究、研究：见《欧几里得42》…

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…

…值：见《欧几里得74》…

 

如下图：

于是数学家将函数值的变化量直接定义为dy，而将自变量x的变化量直接定义为dx。

…量：见《欧几里得27》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

 

那么只要dx足够小，也就是说b点足够趋近于a，函数的割线就足够、能够描绘出函数在这个邻域中的变化情况。

…描、绘、描绘：见《牛顿144》…

 

但是这还不够，数学家还想定义切线。

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…切、线、切线：见《牛顿288》…

 

当时给出的定义是dx无限小，则割线就会无限与其切线重合。那么小到一定程度（b与a重合），则割线自然就成为了切线。

难道不是吗？

 

可是这个定义漏洞百出。因为我们都知道两点才能确定一条直线，如果b点都与a点重合了，那怎么会把切线给确定出来呢？

数学家解释说，不重合，只是无限小。

那么问题又来了，不管多小，只要不重合，那dx总会表示一段距离，那割线总会与函数有两个交点。

有两个交点又怎么称之为切线呢？

你看，一个切线的定义真的是让数学家无所适从。

其实本质是，dx作为一个无穷小量，让数学家手足无措。

…本、质、本质：见《欧几里得22》…

…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…

 

无穷小到底是个什么鬼？？奈何当时极限还没有被发明，死活谁也说不清趋近于无穷小的dx是个什么鬼。

…极、限、极限：见《欧几里得202~321》…

…发、明、发明：见《牛顿84》…

 

但是微小的变化量还是迫切需要的，因此数学家赶鸭子上架。强迫定义dy为y的微分，dx为x的微分（微分即微小的变化量）。因此微分这个词语在那个时候已经被提出来了。

然后把dy/dx定义为导数，也就是切线的斜率（即因变量微分与自变量微分之比为导数）。因此导数在那个时候又叫做微分的商。

…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

…切、线、切线：见《牛顿288》…

…斜、率、斜率：见《牛顿289》…

…商：见《牛顿284》…

虽然定义了导数来表示斜率，通过点斜式解决了切线的求法。但是上面表述的关于切线的问题、本质上并没有得到解决。

自然而然的、在计算导数时，就采取了这种方式（比如求x平方的导数）：

…方、式、方式：见《欧几里得57》…

（“图中是用导数定义求导数。”中学生说。）

也自然而然的产生了上图中我红色文字说明的问题。

 

这问题就大了。

有人开始抨击，尤其是教会的那些人，质问道dx到底是什么，一会为0，一会又不为0？？为什么一个量会有两种不同形态，而且还能完全没道理的自由转换？？

于是第一次数学危机就这样爆发了。

无穷小量直接挑战了数学的严谨性！

…严、谨、严谨：见《欧几里得155》…

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

 

没有严谨性的数学，将什么都不是！而在当时没有一个人将无穷小量说的清楚。

 

总结一下，古典微分学的特点：

…总、结、总结：见《欧几里得86》…

…特、点、特点：见《牛顿95》…

 

（1）dy和dx表示的是自变量和因变量的具体的变化。

…具、体、具体：见《牛顿123》…

 

（2）根据想象中的无穷小这个东西，定义了切线。

…根、据、根据：见《欧几里得115》…

 

（3）然后将切线的斜率定义为导数。

 

可以看到古典微分学确实很直观，如果不假思索，确实非常易于理解。

…直观：见《牛顿220》…

 

这也是为什么我们在教材中，在介绍什么是导数、什么是切线时，还是采用上面那张图来介绍。

但是古典微分学的缺陷是非常严重的，就是无穷小量像个炸弹一样，随时把这个体系炸的血肉模糊。

…体、系、体系：见《欧几里得27》…

 

如果我们能很好的解决无穷小量这个问题，那么一切危机不都消除了吗？

遗憾的是，直到200年后，极限被数学家发明了出来，无穷小才得到完美的解决。

 

“数学家学聪明了。先抽象的把什么是导数定义出来（如上式），然后再去图像上讨论切线的含义。

请看下集《牛顿326、极限微分学；切线，是趋近于0时，割线的极限》”

 

若不知晓历史，便看不清未来

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