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积分方法,不可积函数

2021-11-28 23:19 作者:中国崛起呀  | 我要投稿

牛顿396、积分方法不可积函数

 

不定积分(百度百科):…

…不,定,积、分、积分,定积分,不定积分:见《牛顿353~395》…

 

求解

∫f(x)d x=F(x)+C,设F(x)是函数f(x)的一个原函数,

我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,

又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)d x=F(x)+C。

其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量。

求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分

…∫:积分符号,为字母s的拉长…见《牛顿338》…

…d:differential(微分)首字母…

[differential(英语):n.(名词)差别;差额;差价;(尤指同行业不同工种的)工资级差。

adj.(形容词)差别的;以差别而定的;有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思??——网友提问


2019-09-07,想玩游戏的猫:d(x)代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思,也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是,微分的意思。

dx就是对x的微分,是把增量细微化,dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

 

…函、数、函数:见《欧几里得52》…

(…《欧几里得》:小说名…)

 

…导、数、导数:见《牛顿288~294》…


全体原函数之间只差任意常数C。

…常、数、常数:见《欧几里得132》…

 

证明:

…证、明、证明:见《欧几里得6》…

 

如果f(x)在区间I上有原函数,即有一个函数F(x)使对任意x∈I,都有F'(x)=f(x),那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。

即对任何常数C,函数F(x)+C也是f(x)的原函数。

这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数[即∀x∈I,G’(x)=f(x)]。

…∀:数学符号“任意”…见《牛顿309》…

…∈:数学符号“属于”…见《牛顿303》…

 

于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为0的函数必为常数,所以G(x)-F(x)=C(C为某个常数)。

{如果函数f(x) 在区间[a,b]上的导数f’(x)恒为0,那么函数在区间[a,b]上是一个常数。

证明见《牛顿388》}

 

这表明G(x)与F(x)只差一个常数。

因此,当C为任意常数时,表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。

也就是说,f(x)的全体原函数所组成的集合,就是函数族F(x)+C (-∞<C<+∞)

由此可知,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即∫f(x)d x=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x)d x可以表示f(x)的任意一个原函数。

 

积分方法

…方、法、方法:见《欧几里得2、3》…

 

一、积分公式法

…公:见《欧几里得1》…

…式、公式:见《欧几里得132》…

 

直接利用积分公式求出不定积分。

 

二、换元积分法

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。 

第一类换元法(即凑微分法)

…微、分、微分:见《牛顿321~336》…

 

通过凑微分,最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如:

不可积函数

 

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分,但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合。

原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。如x^x,sinx/x这样的函数是不可积的。

…^:乘方…

…x^x:x的x次方…

 

[初等函数(百度百科):初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric function)与常数经过有限次的有理运算(加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方)及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。

…运、算、运算:见《欧几里得121》…

]

 

“在牛顿莱布尼茨公式出现之前,人们求曲边梯形与x轴围成的面积时想到的是无限分割求极限。

当时没有人会想到求原函数(即不定积分)有什么用。

但是牛顿-莱布尼茨公式的出现使人们意识到,原来我可以不用分割,可以用不定积分来求!所以牛顿-莱布尼茨公式仅仅是一个很重要的工具。

请看下集《牛顿397、牛顿-莱布尼茨公式只是一个计算工具,不是定义!》”

 

若不知晓历史,便看不清未来

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