『芸榛概率论』为什么会有充分统计量/完备统计量

充分统计量：在T一定的情况下，X的其他（不影响T的）变动不再影响参数。 为什么说充分统计量包含所有关于参数a的信息呢？ 这里其实是限定了在Fisher式统计的语境下的。当然，这样的直觉可以推广到更大意义上的信息。但是在建立理论之初，我们只有fisher的那一套，即参数估计和假设检验。（不一定全部是fisher发明的，人名不重要，只是说现代课本上最经典的那一套。） 参数是密度函数族的指标集，也就是编号。如果强令两个不同参数对应同一个分布，自然就无法根据抽样来反推参数是两个中的哪一个。所以所谓参数的信息，就是参数改变后分布整体也改变，所带来的变化/不确定性。 注意这不是指方差，而是指参数不同时分布整体也不同。 如果已经有了充分统计量，获得了一部分信息，也就是确定了一部分样本的情况，那么剩下的情况理应包括其他关于a的信息。但如果无论a怎么变，除T以外的X不再随T而变化，就相当于是上述的无用编号，不再可通过剩余的X的情况去反推参数a。 此外我们还遇到一个问题：既然x bar可估计均值参数a，为什么不闲着没事给它加个东西呢？凭什么老师说是这样最好，那就是这样最好？ 我来个x1-x2+x bar，不是也能估得挺好吗？ 实际上因为方差是加性的而不是减性的，这样估计会导致方差增大。因为基本不等式（或同类，本质上是信息熵）只有在对各个样本平均权重时达到极值（也可以说是数学的对称性原理导致的。另一种极值在权重极端偏向于一个样本时，毕竟极值有极大极小两种），而我们魔改的统计量的权重更偏向x1和x2，自然达不到极值。 是x bar而不是我们魔改的东西最好，不是老师说的，而是完备性决定的。 如果一个估计量里面被偷偷夹带了一个均值为0的东西，也就是夹带噪声，那么它就可以通过减去这个噪声而改善性能。虽然方差不是减性的，但是如果我们把噪声想象成具有独立于估计量本体的另一部分的话，方差就暂时可减了，就像（x1+x2）-x2一样。或者说，也可以理解成减掉那部分多出来的权重。 这样的噪声，也就是均值为0但本体不为0的统计量，称为0无偏倚估计。注意到如果方差为0则随机变量为0，可以加深对这一现象的理解。 如果我们允许加工所有样本来获得统计量，那么诸如x1-x2这种东西就一直存在。 如果我们只允许打包利用一个统计量T，比如我们只剩下充分统计量，其他的次序、range或第一次抽样等信息被狗吃了，那么就有望使得T的函数的期望为0时，这个函数的本体为0。毕竟我们已经削减了很大一部分可用的函数，且注意到x2-xn之类的容易想象到的噪声已经不可能再出现，因为它不是T的函数，不是将T作为一个整体去利用的。 这就是完备性。完备性是不存在这种噪声的一个充分条件。而且我的直觉让我认为这两者的结合可能很紧密，甚至可能是充要的。 所以正确的讲授方法是先讲授充分统计量，然后讲授0无偏倚噪声的直觉，然后就能自然地引入完备性了。即便没有basu定理，完备性本身也有一些统计价值。 完备性有不同的定义（陈希孺书），不过我想意思是差不多的。 参考书：statistical inference