很水的数学分析078：函数列与函数项级数

#练习生打卡

函数项级数

一：要研究的核心问题

1.定义域

2.前面讲过的连续性、可积、可导（可微）都属于分析性质，研究函数项级数就是研究它的这些性质。（例如注意到d/dx是线性的前提是有限项）

3.各种算子的换序问题。本节主要研究与极限算子、与积分算子、与求导算子的换序问题，即逐项求极限、逐项求积分、逐项求导问题。

如果可以换序（或者说可以逐项求），则可以把非初等函数的极限导数积分等转化为初等函数的极限导数积分。

有可能不成立，这再次说明无限跟有限不一样。（甚至Cauchy都犯了错误）

二.

4.函数项级数相当于，二元，通过某算子“坍缩”一个变量，来定义一元函数。类似的，变限积分、lim(y→y₀) f(x,y)、∫ᴵ f(x,y)dy，本质都是如此。

5.数列和数项级数相对应；

同理，函数列和函数项级数相对应。（可以形成双射）

所以理论上只要证明其一就可以。

事实上，证明定理的时候用函数列方便，应用的时候用函数项级数方便。

三.细节

6.讨论收敛点集，端点容易忽略，但是不简单。

7.把实数跟常值函数区分开。常值函数指的自变量任意取，函数值都取同一个常数。