外测度和内测度

⼀般集合的外测度、内测度

　整个测度论，不管是约当测度、Ｌ测度还是Ｂ测度，都源于开集的测度。开集测度都是这些测度的参照物。

　开集的测度就是直接拿⽪尺对开集进⾏量度。⽽开集的构造可以认为由有限或者⽆限个构成区间构成，所谓构成区间可以理解为⼀个不可再分的开集，各个构成区间是不交的，将各个构成区间量出其长度，再⼀一求和，就得到了开集的总长度，这就是开集的测度。

开集测度的定义：

设G为非空开集，则有结构表示

其中 是G的构成区间。规定开集G的测度为它的一切构成区间长度的和，记为mG：

闭集测度的定义：

设F为非空闭集，任取一个包含F的开区间(a,b)，令G＝(a,b)－F ，则G为开集，定义闭集F的测度为

mF ＝b－a－mG

也就是说，闭集的测度也必须通过开集的测度来定义。

外侧度定义：

设E为有界集

E的外测度定义为一切包含E的开集的测度的下确界，记为

内测度定义:

E的内测度定义为一切含于E中闭集的测度的上确界，记为

　外测度就是从外⾯测这个集合，当然⽤⼀个最⼩的集合来套它，从内部测它，当然⽤⼀个最⼤的集合来顶死它。⽆论内外⼒求严丝密缝。

　　以上定义除了对半开半闭集合适⽤，对前⾯的开集、闭集同样适⽤。以开集为例，从外⾯找⼀个开集来套她，没有什么⽐她⾃⼰更合⾝了，所以，外测度⾃然就是她⾃⼰。⽽从⾥⾯找⼀闭集套顶它，有定理证明⾥⾯闭集的最⼤者的测度与其测度相等，于是，开集的外测度=内测度=⾃⾝的测度。同理，闭集的内外测度=⾃⾝的测度。

　　对于⼀般集合，以外测为例，在以上的定义中，是⽤⼀个⽐她⼤的开集来测量她，⽽在⽐她⼤的集合中取其最⼩值，所以这是⼀个极限值。⽽极限值与真正值往往差了⼀个⽆限⼩ε。因此内测和外测就差了⼀个⽆限⼩ε，这个⽆限⼩ε在积累的过程中如果不产⽣质变，则保持⽆限⼩，可以视为0。于是，绝⼤部分集合都是内测=外测的。

　　那么，外测度为什么用一个开集而不是闭集来套那个待测集合呢？

假设（a,[e],f）代表一个开集，则从a到e左边的中括号 [ （e也可以是开集）之间，可以划分为无数个开集，从而符合测度是以开集来定义的这个原则。

那内测度为什么用一个闭集而不是开集来顶那个待测集合呢？

这是因为存在如下定理：

上面定理的意思就是，对于任意一个集合，它都包含一个最大的开集，那么，超过这个开集以后，就没有办法更进一步去逼近这个集合 E 了。