测度、开集测度和闭集测度是如何定义的

所谓测度问题，就是（直线上）是否存在具有下列性质的测度：

1、具有可列可加性；

这里的Ai都是开集，这是为了保证它们之间既可以紧密相连，又可以两两不相交。

2、空集的测度为0：

3、[0,1]的测度是1。

开集测度的定义：

设G为非空开集，则有结构表示

其中

是G的构成区间。规定开集G的测度为它的一切构成区间长度的和，记为mG：

闭集测度的定义：

设F为非空闭集，任取一个包含F的开区间(a,b)，令G＝(a,b)－F ，则G为开集，定义闭集F的测度为

mF ＝b－a－mG

也就是说，闭集的测度也必须通过开集的测度来定义。

G是开集的证明：

设 A 是空间 M 中的开集,B 是 M中的闭集,

B 闭 ==> M - B 是 开集,所以 A - B = A 交 （M - B） 是开集。

集合G就是一个开集内被挖去了一个闭集的集合。

比如：（a,[c,d],f）挖去[c.d]以后变为：

（（a,b）,(e,f)）其中b的上确界是c,e的下确界是d。