谈一谈“螺栓自锁与夹紧力”的计算方法（非矩形螺纹）

1.什么是螺栓的夹紧力？有什么用？

2.螺栓夹紧力中的“541”规则

3.自锁与摩擦角的理解与计算

4.螺栓夹紧力的理论计算公式

5.螺栓夹紧力的经验计算公式

6.理论计算与经验计算的精度对比

1.什么是螺栓的夹紧力？有什么用？

        螺栓、螺母在紧固件使用中占了60%~70%，是应用最为广泛的连接件。螺栓的工作原理见图1-1所示，我们通过将螺栓螺母拧紧，螺母的作用是利用螺纹之间的摩擦力进行自锁，螺栓受拉产生夹紧力从而将被连接件夹紧。夹紧力可以抵抗被连接件受外部载荷的作用，保证受外部载荷冲击下连接的稳定性。夹紧力一定要大于外部载荷，其次还要综合考虑振动、摩擦力变化、连接尺寸变化、拧紧精度等因素而设计合适的安全余量（安全系数）。

2.螺栓夹紧力中的“541”规则

        螺栓在拧紧过程中，我们用扳手等工具施加的扭矩做正功，拧紧螺栓的过程中，有两处摩擦力削弱了我们施加的扭矩，一处是螺栓头部与被连接件间的摩擦力，记为，另外一处是螺栓与螺母 螺纹副中的摩擦力，如图1-2所示。在扭矩转化为螺栓夹紧力的过程中，螺栓头部摩擦力约消耗50%扭矩，螺纹副摩擦力约消耗40%扭矩，最后大概只有10%扭矩转化为螺栓的夹紧力，这即为螺栓夹紧力中的“541”规则。当然，随着工况的变化，例如螺纹中掺杂颗粒、螺栓生锈等（螺纹副摩擦力扭矩消耗占比增大），“541”规则中摩擦力消耗比例也会有所不同。

3.自锁与摩擦角的理解与计算

        “自锁”在螺栓螺母中有着重要的作用， 是螺栓轴向力的克星。下面通过一个简单的例子来理解自锁这一概念吧。如图1-3所示，典型的斜面滑块模型，滑块在重力的作用下往下滑（滑块同时受到摩擦力），这一切都感觉理所当然，但是当斜面夹角小于一定度数时，无论滑块的质量多大（也可以理解成滑块下面吊着超重的重物），滑块都不会下滑，这一现象称为“自锁”。那么这个斜面的角到底多小才能实现自锁呢，下面来做一个简单的推导。

        滑块不能够下滑的条件是:

        其中

        得

        由此可以得到，当滑块与斜面的摩擦系数大于tan(α)时，达到自锁条件。按照常识理解就是，斜面越平（α越小），滑块越难下滑。

        有了自锁的概念，我们就可以理解螺栓中的自锁了。其实，螺栓的自锁与上面的斜面滑块模型类似（螺纹副受力分析也可以看成斜面滑块模型），螺纹副详细受力分析见第4节分析。螺栓夹紧后，由于自锁的存在，螺栓能承受很大的轴向力而不脱落（螺栓松动一般由于振动、冲击等交变力导致的），除非螺栓被破坏。

        在开始对螺纹作受力分析前，我们还需要理解“摩擦角”的概念，摩擦角的定义是当物体处于滑动的临界状态时，静摩擦力达到最大值，此时（总反力）与 （支持力）的夹角也最大，此时的 称为摩擦角。定义不好理解，我们还是用图来理解这个概念吧，如图1-5所示，为摩擦力，为（总反力）与 （支持力）的夹角。摩擦角有几个特点：1.摩擦角是固定不变的，其大小只与摩擦系数有关。2.主动力的合力的作用线在摩擦角之内，无论这个力多大，物体仍然保持静止。下面对上述特点进行简单的推导：

        1.摩擦角固定不变，且大小只与摩擦系数有关

         2.主动力的合力的作用线在摩擦角内的情况

滑块能够运动的条件是：

，便于计算，考虑质量为0，有

        所以得出结论：不考虑重力情况下，合力的作用线在摩擦角内，物体必不能运动。考虑重力情况下，合力的作用线在摩擦角+余量（多了mg项）内，物体不能运动。

4.螺栓夹紧力的理论计算公式

       首先，我们先来理解一下螺纹副的受力情况，见图1-4所示，图（a）是两个螺纹配合示意图，其中可以将螺纹简化为一个小块，如图（b）所示。最终螺纹副的受力分析可以简化为斜面滑块受力分析，这也是工程中面对复杂工况常用的方法。

        螺纹的受力情况如图1-7所示，这里省略滑块，其中是夹紧力，是水平方向的分力，是总的支反力，是当量摩擦角（总支反力与垂直于斜面支承力的夹角，摩擦角概念见节3），是螺纹升角（螺纹升角详细理解，见节5）。

        接下来分析螺栓夹紧力的理论计算方法。如图1-9（a）所示，装配时夹紧力的大小是通过拧紧力来控制的，由于拧紧力矩（）的作用，使螺栓和被连接件之间产生夹紧力。其中，拧紧力矩等于螺旋副间的摩擦阻力矩和螺栓头环形端面与被连接件支承面的摩擦阻力矩之和（图1-2为示意图）。

         由上述分析，有：

      式（1）

        螺旋副间的摩擦力矩为（参考图1-8）：

,   式（2），其中d2是螺栓中径。

        螺栓头与支承面间的摩擦力矩为（相关尺寸参考图1-9（b））：

， 式（3），其中为螺栓头与被连接件间的摩擦系数。

        推导过程[2]：

        由于摩擦面为圆环区域，所以不能直接采用公式计算，接下来用积分来分析。如图1-10所示，在圆环区域取微环形面积作积分分析，面积为，设面积上的压强为为常数，则环形微面的正压力，摩擦力。对回转轴线的摩擦力矩为：

        轴端所受的总摩擦力矩为

解得，，由于，代入得

，注意这里R，r为半径，化为直径即与式（3）一致。证毕

        将式（3）、式（2）代入式（1），得

，式（4）

        对于M10~M64粗牙普通螺纹的钢制螺栓，螺纹升角；螺纹中径（螺纹大径）；螺纹副的当量摩擦角(f为摩擦系数，无润滑时f≈0.1～0.2)；螺栓孔直径；螺母环形支承面的外径（这里采用螺母环形面与采用螺栓头环形面，具有等同效果）；螺母与支承面摩擦系数。将上述各参数代入式（4）整理后得

            ，式（5）

5.螺栓夹紧力的经验计算公式

        上面的螺栓夹紧力理论计算方法指的是在推导过程没有做简化或近似（见式4），只是最后做了一些简化。现在介绍的是螺栓夹紧力的经验计算公式[3]。

        同样的

      式（1）

        螺栓头与被连接件之间的摩擦扭矩T1为：

，式（2）

其中为摩擦系数，为螺栓头与被连接件接触圆环的中心直径。这里的计算做了简化，精度对比见节6。

        螺纹副之间的摩擦扭矩T2为（受力分析参考节4）：

，式（3）

        由于螺纹螺旋升角一般都很小，因此式（3）可以简化为：

，式（4）

        现在我们需要求出和，就能够得到经验计算式了。

        首先，我们来理解一下螺纹升角的几何意义，螺纹升角的定义是：在中径圆柱上螺旋线的切线与垂直于螺纹轴线的平面间的夹角。定义晦涩难懂，我们需要关注的几个关键词是螺旋线、切线、平面、夹角。如图1-11所示，螺旋线的产生就是一个三角形包着圆柱，三角形最长边就是螺旋线。p为螺距。

        由图1-11得，螺纹升角为

，式（5）

        现在还剩下最后一个参数，需要找到计算它的简便方法。

        由于普通公制螺纹为三角型牙型，对其进行受力分析得到图1-12结果。Rn=螺母与螺栓螺纹接触面间的正压力。

        由图1-12得

，式（6）

        螺纹牙间接触摩擦力为

，式（7），为螺母与螺栓螺纹处摩擦系数

        对于平面来说，法向反力等于，平面时摩擦力;

        对于斜面来说，摩擦力如式（7）所示，为，令，    称为当量摩擦系数[4]。根据平面摩擦角与摩擦系数的关系（）在这里有：

，式（8）

        将式（5）、式（8）代入式（4）得

，式（9）

        对于标准普通公制螺纹牙型角2α为60°，因此

        则拧紧扭矩T可表达为

        则螺栓夹紧力为

，式（10）

        至此，计算螺栓夹紧力的三种方式已经全部推导完成（式（4）、式（5）、式（10）），第六节将对上述三种计算方式进行精度对比。

6.理论计算与经验计算的精度对比

，算法1

，算法2

，算法3

        这里假设分别用100N、200N、400N的力矩T去拧紧一个普通M6螺栓，螺栓的基本参数为：d=6，d2=5.5，P=1，ψ=2°，α=30°，ug=0.1，uk=0.15，=9.83°，D0=9mm，d0=6.5mm，P=1。测试结果和代码如下所示：

        由结果可知，三种算法的结果误差在10%以内，与理论算法1相比，算法2结果偏小，算法3结果偏大，在做设计的时候建议采用算法3。在这里只测试一组参数，来做个简单的窥见。有兴趣的可以复制一下代码到Python3 在线工具（https://c.runoob.com/compile/9/）自行修改参数测试。

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参考

[1]机械实验室.探究螺纹自锁原理：生活中无处不在的神奇力量.B站.

[2]秋来心事谁能领.磨合轴端的摩擦力矩公式推导. B站.

[3]机械液压论坛.为什么拧紧螺栓时仅有10%的扭矩转化成了螺栓的预紧力.今日头条.

[4]伊伊爸.螺纹紧固扭矩计算的基本知识.个人图书馆.