数学实现信号分析[7]: 高维傅里叶变换

在对高纬度进行推广前, 我们先来复习并稍微更改一下一维傅里叶级数

有一个函数 f(t) , 我们假设它在 [0, T) 里可以表达为以下格式的函数

现在对等号右边进行化简:  (写作"化简", 读作"复杂化") 

有了最后一步, 就可以直接推断出

可以看到上学两式指数部分只相差一个负号,  这意味着相乘以后所有指数相关的都会变成1, 理解了这一点你就懂得了傅里叶的精髓了

这种方法虽然完全没有什么直观的理解方法, 但是在数学运算上是真的比较简单

这里是二维的世界

在理解傅里叶变换前首先要认识什么是二维正弦函数

在一维里, 我们可以用x轴表示输入的值, y轴表示函数的值,    但是在二维里xy整个平面都是输入, 而z轴为输出的值

实际上二维函数并不复杂, 在一维里最基本的正弦函数是 cos(x),  而在二维里最基本的函数为 cos(x)cos(y),  它的图像如下所示

可以观察它的表达式分为两部分, cos(x) 和 cos(y), 这意味着二维正弦函数的频率应该有两个ω_x 和 ω_y,  而对应的相位也应该有两个 φ_x 和 φ_y,  

就如同一维的通用正弦函数为  {A cos(ω(x+φ))},  二维的通用正弦函数为:  {A cos(ω_x(x+φ_x)) * B cos(ω_y(y+φ_y))},  而AB可以乘在一起当作一个常数

在一维当讨论级数时, 声明了范围 [0, T),  那么同样在二维讨论级数时也需要声明范围:  [0, T0) * [0, T1),  这是一个边长为T0, T1的长方形区域, 起点在(0; 0), 终点在(T0; T1)

有了函数的定义和范围的定义后, 就可以开始计算了 (脑浆炸裂)

二维傅里叶级数

假设在范围 [0, T0) * [0, T1) 中, 具有函数 f(x,y),  那么我们可以假设这个函数可以表达为: 

然后就可以开始愉tong快ku的化简过程了:  (这里推荐保存图片后放大看)

那么根据 "傅里叶的精髓" 可以知道有下面结果:

 二维傅里叶级数到此为止

二维傅里叶变换

参照一维傅里叶变换的思路  "当函数范围逐渐扩展到无穷的过程中, 级数系数间隔越来越小, 直到无穷时, 级数定义式会由累加化为积分, 即得到了傅里叶变换"

那么二维也这样做的话, 就得到了二维的傅里叶变换了:

高维傅里叶变换

在n维的空间里, 存在函数 f(r) (r为一个n维的向量 [x0; x1; ... ; xn]) 使用类似二维的推导过程可以得到高维傅里叶变换

其中, ω ` r  是表示两个向量的点积

傅里叶变换的正篇就到此结束了, 过几天还有一个傅里叶小技巧的专栏, 万年前的附章已经被我埋了地下了

当然, 高维傅里叶变换可不只这么点的东西, 类似的还有离散高维傅里叶变换, 高维窗口傅里叶变换什么的, 不过我在这里就不详细讲述了 (因为懒),  感兴趣的可以直接去找资料或者直接推导的哦

把傅里叶相关的全部写完以后呢, 就会有一篇专门介绍函数空间的, 然后就是著名的不确定性原理的证明, 最后就是泛函分析基础了,  有一篇跟傅里叶密切相关的小波变换也不知道会不会做

出完这些之后, 我想我学会的数学方面也没有什么东西好讲的了,  嗯姆

最后来看看二维傅里叶变换是个什么东西吧:  (左边是原图, 右边是傅里叶变换的结果)

为什么分辨率那么低呢,  因为高了之后变换后的斑点很小啊 !