2.利用量纲来分析高斯积分

  量纲分析在积分中的应用，这篇就用正态分布的高斯积分来举例子。

  正态分布（Normal Distribution），高斯分布（Gaussian Distribution），是一个常见的连续概率分布。服从一个数学期望为、方差为的正态分布，则记为。其概率密度函数为正态分布,而期望值和标准差决定了其位置，分布的幅度。并且正态分布的图形形似大钟所以又称钟形曲线。

以下为正态分布函数：

  那么在概率中我们知道概率总和为1，所以可以得知:                                                                                            

  由于函数是关于的函数，所以为了简便计算先令得到新的积分                                        

令,接下来只需要证明   即可。

  那么可以看到被积函数并不能找到原函数但是由于且可以利用来进行极坐标换元，所以先考虑积分的平方：

  接下来进行极坐标换元 

  得到积分

  所以可以轻易得到 。

  那如果令，可以直观的看到积分值与有关，但是和的取值无关。那么可以提出以下三个问题，作为正态分布中的随机变量，为什么在与做加减的时候不影响积分值，而在和做乘除的时候影响了最终的积分值。

  令,先来考虑这样的积分如果在自变量上做加减乘除的话会得到也就是说可以直观的发现和自变量做加减法只是在积分区间如果将积分区域扩大到上，那么自变量的加减将不影响函数值。而对自变量的乘除则是伸缩，所以积分之前有了这一项。根据上一篇文章所说，量纲是相乘的，所以在对自变量的操作中加减并不改变自变量的量纲并且只有两个量纲相同的数才能相加减，只有乘除才会改变自变量原有的量纲。可以发现没有积分得到的常数是无量纲数所以当变为时量纲也会发生变化，所以需要在积分前补上来平衡掉中的量纲。

  那么回到高斯积分。首先分析量纲，可以发现，超越函数本身是无量纲数，所以 ，可以进一步推出 。那么对于积分可以发现积分中，也就是说积分的量纲变为了 。但是在概率中，概率所代表的量纲是无量纲数所以在积分中必须想办法来平衡掉多出来的量纲，这时候把目光放在刚才的式子，既然不能在积分中随意添加自变量，那么就用来平衡其中的量纲。所以会在积分前面乘一个 来平衡量纲，也就是说当我们第一次看见这个积分的时候也可以利用量纲来分析出。

  接下来可以尝试推广一下，在计算形如 的积分时,可以首先考虑配方

就可以得到，也就是换到了上述积分的样子就可以轻易得到。

  这时候再用量纲来进行一个分析，由于量纲相同的量才可以相加减，所以可以得到  为了平衡，必须要乘来使整个积分量纲为。而且可以发现在其他的方出现的和，都是以出现的，也就是说其他的方只能出现量纲平衡的数来保持积分值的量纲。