从V=L到逻辑多元

附是民科自创 附： 小超越基数： 第ω个大基数, 假设每套大基数都需要一套公理来证明的话, 小超越基数需要ω套公理, 中超越基数：:将第n个大基数记为T[n], 则中超越基数是满足 T[α]=α的最小值. 大超越基数：将T记号像φ函数, ψ函数, 甚至Stegert/Rathgen的Psi函数一样扩展, 甚至再带上TON...... 如果说小超越基数相当于ω, 中超越基数相当于φ(1,0), 则大超越基数相当于ω1CK 极超越基数：将"小超越基数相当于ω, 中超越基数相当于φ(1,0), 则大超越基数相当于ω1CK看作是"映射", 则将大超越基数映射一次, 就是Ω 也就是第一不可序列数 —————————————————————————— 集合论可构造宇宙V=L： 定义Def()为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀,u₁,u₂,……∈X使得 x = {y∈X :φˣ[y,u₀,u₁,u₂,……] 然后： L₀=∅ L₁=Def(L1)={∅}=1 Ln+1=Def(Ln)=n Lω=∪＿k<ω Lω Lλ=∪＿k<λ λ is a limit ordinal ג是极限序数 L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数 脱殊扩张V(V[G])： 脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。 P-name宇宙V 令P为一个拥有 rank ( P ) = r>ω假设P-names 通过一个flat pairing function 来构造。那么对于任意的V上的G⊆P-generic 以及对于任意的a≥r×w有V[G]ₐ=Vₐ[G] 令f为一个固定的的flatpairing function ;再递归地构造一个宇宙： V₀ᴾ=∅ Vλᴾ=∪＿α<ג Vαᴾ Vα+1ᴾ=P(Vαᴾ×P) Vᴾ=∪＿α∈Ord Vαᴾ HODs： HOD⁰=V HODⁿ⁺¹=HODᴴᴼᴰ^ⁿ HOD^ω=∩＿n<ω HODⁿ H⁰=V H^α+1=HODᴴ^ᵃ HOD^η=∩α<η HOD^α 对所有HODs的脱殊扩张 gHOD=∩HOD^V[G] 宇宙V=终极L： V=终极L的前置条件： 一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。 一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。 一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。 V=终极-L是一个多元一阶算术集合论。 存在V=终极-L的有限公理化。 存在真类多的Eη基数并且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。 对于每一个超紧致基数的极限基数 λ , ADλ 成立。 伊卡洛斯基数之下的每一个 ≥I0 基数的真类初等嵌入具有三歧性。 如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的 ω− 序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。 见证普遍分区公理成立。 见证强普遍分区公理成立。 终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。 V=终极L的直接推论： 见证最大基数伊卡洛斯的存在性。 见证真类多的武丁基数 终极L是最大的内模型。 见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR 公理，并且θ是正则的。 拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平） 见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言 见证 Ω 猜想成立 见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。 见证ZF+Reinhardt不一致。 存在非平凡初等嵌入 j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)) . V是最小的脱殊复宇宙。 见证广义连续统假设成立，并且 ω₁ 上有一个均匀预饱和理想。 见证正常力迫公理成立。 存在包含武丁基数的真类。进一步地，对于每一个rank-existential 语句φ若φ在V中成立那么存在一个universally Baire 集AR使得有 HODᴸᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾∩V＿Θ⊨φ 其中Θ=Θᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾(A, R) . (V=终极L) 绝对无穷Ω： 理想的绝对无穷可以看作宇宙V的基数 在新基础集合论Nf中对绝对无穷，施加幂集反而会让他从绝对无穷中跌落 不要与序数中的第一不可序列数搞混 关于绝对无限有两个的性质： 反射原理：Ω的所有性质必与其它超限数所共享。即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。 假设Ω具有独特的性质p，而其它无限集都不具有这个性质。则我们可用性质p对Ω做唯一地描述，这样一来，Ω就不是绝对的和不可定义的了。因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有；进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享，否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。所以假设不成立。 不可达性：Ω不能被小于它的数构造出来。即Ω是不能从下面达到的。 推理过程与上面类似。假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来，我们便可凭此构造对Ω作出定义。这破坏了Ω的不可定义性，所以Ω不可被小于它的数构造出来。因此我们说Ω是不能从下面达到的，或说它是不可达的。 复宇宙： 假没M是一个由ZFC模型组成的非空类：我们说M是一个复宇宙，当且仅当它满足： ⑴可数化公理 ⑵伪良基公理 ⑶可实现公理 ⑷力迫扩张公理 ⑸嵌入回溯公理 对于任意集合论宇宙V若W为集合论的一个模型，同时在V中作为诠释或者说是可定义的，那么W可同样作为一个集合论宇宙。 对于任意集合论宇宙V那么任意位于V内的力迫P,存在一个力迫扩张V[G]其中G⊆P为V-generico 对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V≾Wθ≺W 对于每一个集合论宇宙V,从另一个更好的集合论宇宙W的角度来说是可列的。 从另一个更好的集合论宇宙的角度来看，每一个集合论宇宙V都是ill-founded的 简单说，存在一个集合论宇宙V，并且对任意集合论宇宙M，存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使的在W看来，M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙。 在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。 脱殊复宇宙： 令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙Vᴍ为满是以下条件的最小模型类： ⒈M∈Vᴍ ⒉如果N∈Vᴍ，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ ⒊如果N∈Vᴍ，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ 简单说，Vᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。 如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements (给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。 也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。 复复宇宙： 存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M,存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N,使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。 就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙 于是我们可以继续，得到复复复宇宙等…… 逻辑多元： V-逻辑(V-logic) V-逻辑具有以下的常元符号： a¯ 表示V的每一个集合a V¯ 表示宇宙全体集合容器V 在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则： ∀b,b∈a,ψ(b¯)⊢∀x∈a¯,ψ(x) ∀a,b∈V,ψ(a¯)⊢∀x∈V¯,ψ(x) 作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 a

¯ 和表示V本身的常元符号 V¯ ，而且还有一个常元符号 W¯ 来表示V的 "外模型 我们增加以下新公理。 1. 宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。 2. W¯ 是ZFC的一个传递模型，包含 V¯ 作为子集，并且与V有相同的序数。 因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中 V¯ 被正确地解释为V， W¯ 被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V+=Lα(V) 内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。 最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式： 假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“ W¯ 满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。 最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。 在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。 通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元 V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。 以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）这种东西…… —————————————————————————— 附：一阶实无穷 将目前所有的理论塞进一个更加强大的“集合”，然后进行二次套娃，也就是连套两次，最终会有一个无法到达的终点，这就是一阶实无穷，一般用K表示