一道有关内心与北极点的题

该题是我在做另一题时偶然发现的，那道题本身并不需要该题为结论，从而我也不知道该题的标答. 该题的图形看起来十分基本(也许就是某个结论?可我并未查到，有知道的欢迎指出)，但我问了许多朋友，他们都未能找到纯几法. 我在尝试诸多次后终于找到一个方法(可惜不像题目本身那么简洁)，下面看题：

emm，有北极点和内心，自然先标出南极点并连线. 现在不知道这步有没有用，但看起来确实会舒服些.

事实上，图形中除了E,F外都是基本点，于是考虑从E,F入手. 而F目前基本啥关系都找不到(虽然容易找到与△IDF相似的三角形，但其比例式无法转化). 那么看E，作为圆上的点，自然尝试导角. 故由∠IAE=∠SNE＝∠NDI，知AIDE共圆. 

此时几乎在原图中找不到任何关系了，接下来是整道题最关键的一步：由于我们要证F在AE上，而AE是△ABC外接圆(下文简称圆1)与△ADE外接圆(简称圆2)的根轴. 圆2目前过于狭隘，为尽可能使其与F产生联系，我们设圆2再交BC于G. 此时恰好也有NAG共线

NF此时仍然难以与其他线段产生联系. 如果结论成立，则DF·FG=AF·FE. 为使该式有意义，我们可以想到延长NF交圆与L. 于是DF·FG=NF·FL，L在△NDG外接圆上(简称圆3). 这样也才把F联系了起来. 

反过来，如果L在圆3上，则NL,AE,DG分别为圆1与圆3,圆1与圆2,圆2与圆3的根轴，由根心定理知结论成立. 从而我们只需证：L在圆3上.

现在我们已经摆脱了E,F的约束，只剩下一个稍微难搞的L. 于是我们丢掉L来等价描述该命题，也即证：I对圆1与圆3的幂相等.

I对圆1的幂显然取-AI·IS. 接下来要寻找I对圆3的幂. 由于已有现成的连线DI，很容易想到延长DI交圆3于J.

下面的做法很显然了. 注意到JNSI是平行四边形，有JI=NS. 于是只需证NS·DI＝AI·IS. 事实上，这是熟知的. 实在不知道的同学看下图就明白了.

综上，证毕！