《几何原本》命题1.20【夸克欧氏几何】

命题1.20：

在任意三角形中,任意两边之和大于第三边

已知：△ABC

求证：

AB+AC＞BC，

AB+BC＞AC，

BC+AC＞AB

解：

延长BA至点D，使AC=AD

（公设1.2＆命题1.3）

连接CD

（公设1.1）

证:

∵AC=AD

（已知）

∴∠D=∠ACD

（命题1.5）

∵∠BCD＞∠ACD

（公理1.5）

∴∠BCD＞∠D

（公理1.1）

∴BD＞BC

（命题1.19）

∵BD=AB+AD

（已知）

∴BD=AB+AC

（公理1.1）

∴AB+AC＞BC

（公理1.1）

同理可证AB+BC＞AC，BC+AC＞AB

证毕

此命题将在命题1.21及卷三的几个命题中被使用