1.开普勒第一定律

上回说到，由天体运动的椭圆性质（即直接利用开普勒第一定律），我们可以由机械能守恒定律和角动量守恒定律推导出开普勒第二定律和第三定律，为了文章的简洁性而跳过了第一定律。为了体系的完整性，接下来，我们来单独讲讲开普勒第一定律（前方公式预警(≧∇≦)/）

2.有心力及其势能

在谈开普勒第一定律前，我们先来看一个概念：有心力，这种力有一个特殊的性质：有心力的作用线始终过一定点，也就是说，物体所受的有心力始终指向（或背离）空间中某个确定的点，这个定点我们称它为力心，常见的万有引力和点电荷间的相互作用就是具有这种性质的力。我们不妨令这个力的表达式为，式中r为以力心为极点建立的极坐标系下到场点的极径，我们规定：当F＞0时，其方向径向向外，当F＜0时，其方向径向向内指向力心，分别为径向、横向的单位矢量。如果这种有心力的表达式很好（好到什么程度呢，它真的就只是r的单值函数，如k／r，kr一类的形式），我们完全可以定义一个有心力势能（可以证明，这类力场是保守力场，其场力对物体做的功和路径无关，即其旋度为零），类比重力势能，保守力做正功，物体势能减少，保守力做负功，物体势能增加，在距力心r～r＋dr的距离处，我们近似F（r）恒定，其在这个微小矢径变化过程中做的功为，由此得到F（r）的大小：，实际上，更一般性的表达式可以写成：，即某点势能对空间的梯度负值即为该点上该物体所受的场力。这个事情再接下来的推导中也会用到。

既然我们要证天体的轨道是一个椭圆，那么由于椭圆是一个平面图形，接下来我们首先要证明受仅有心力的物体必然在一确定的平面上运动。若某有心力场内有一质点m，其矢径为r，

我们用牛顿定律给出F（r）的表达式：，，我们不难发现它们具有相同的单位矢量项，由于个同向矢量叉积为零的特殊性质，我们对r和F进行矢量叉乘：，即：（为了凑出全微分，我们增加了第2项v*dr／dt，而dr／dt正好是速度v的标准定义，故v*v＝0，这相当于第2项是“白送”给我们的）这就证明了是某个常矢量，即v和r始终在以h为一个法向量确定的平面内，既然平面的法向量不变，则平面的位置随之确定。故前述命题得证。

3.比耐方程

搞定了平面的问题，现在我们开始正式推导天体的轨迹方程

在力心－质点的体系下，我们由机械能守恒定律首先可以得到这样的表达式：，式中E是质点的总机械能，（代表变量对时间求导，其分别为径向速度和角速度），由守恒量的定义，令：，为了简化变量，我们对dr／dt项进行处理：，将上式和守恒量h代入能量表达式，得到：，接下来即是解出这个微分方程的关键一步：我们注意到这个式子的分母都含r＾4或r＾2，于是乎考虑换元，令，则，再代入上式：，为了消去常量E，我们对上式子两边对求一阶导数，有：，注意到，上式即：，由于在一般情况下，很少有

，故：，此即有心力场中质点运动满足的轨迹微分方程，亦称比耐方程

特殊地，我们将万有引力的表达式代入：，式中G、M、h均为常量，这是一个和矢径和极角有关的二阶线性微分方程，其通解和特解的组合即为其解：，式中A、B均为积分常量。由于我们可以选定恰当的极轴使时，，故选定该极轴后可定出B＝0，即：，令，其方程亦可写为，不难发现这是一个极坐标下圆椎曲线的标准方程，其中p为半弦长，e为离心率。由于r的极值分别在和处取到，故，由能量表达式有如下的一元二次方程：，上述方程的2个根即为的2个极值，故由韦达定理：，由上面2式得到天体运动的最终表达式：，由此可知，天体的运动形式完全由初值条件E和h确定，当离心率时，天体的运动轨迹是椭圆。当然啦，还有可能是抛物线、双曲线。

4.结语

上面我们已经通过比耐方程和万有引力定律推导出了开普勒第一定律。事实上，在物理学史上却正好相反：先是有了第谷的观测数据和开普勒的三大定律，后才有牛顿凭借他强大的数学能力在现象中建立模型并推导出了万有引力的表达式。人类对宇宙的探索就是这样一个接力的过程，而在这个过程的后期，我们往往才能看清楚现象的物理学本质。物理学或许会经历一短相对停滞的发展时期，但物理人的征途，永远是无边际、令人向往的星辰大海