记号

2022-01-08 10:15 作者:子瞻Louis 0人读过 | 我要投稿

忽然意识到今后我的文章可能会用到一些记号，有些还是不同于其他地方的规定，为了以后的方便，本期就给它们整合在一起吧，

一般情况 $a%2Cb%2Cm%2Cn%2Ck%2Cq%2Cl%2Cr%2C%E2%80%A6%0A$ 表示整数， $t%2Cx%2Cy%2C%5Calpha%2C%5Cbeta%2C%5Cxi%2C%E2%80%A6$ 表示实数， $s%2Cz%2C%E2%80%A6$ 表示复数， $c%2Cc_0%2Cc_1%2C%E2%80%A6$ 表示正的常数， $%5Cvarepsilon%2C%5Cvarepsilon_1%2C%5Cvarepsilon_2%2C%E2%80%A6$ 表示非常小的正数， $p%2Cp_1%2Cp_2%2C%E2%80%A6$ 表示素数

所有整数的集合记为 $%5Cmathbb%20Z$ ，自然数集 $%5Cmathbb%20N$ ，实数集 $%5Cmathbb%20R$ ，复数集 $%5Cmathbb%20C$ ，所有素数的集合 $%5Cmathbb%20P$ ，

当用s表示复数时，通过 $s%3D%5Csigma%2Bit%5CRightarrow%20%5CRe%20(s)%3D%5Csigma%2C%5CIm(s)%3Dt$ 来规定它的实部与虚部， $%5Clog%20s%3D%5Cln%20s$ 表示s的对数取主值

$%5Cmax(x_1%2Cx_2%2C%E2%80%A6%2Cx_k)%2C%5Cmin(x_1%2Cx_2%2C%E2%80%A6%2Cx_k)$ 分别表示k个数中最大与最小的那个

通常情况下 $%5Bx%5D$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，即整数部分， $%5C%7Bx%5C%7D%3Dx-%5Bx%5D$ 即 $x$ 的小数部分， $%7C%7Cx%7C%7C%3D%5Cmin%20(%5C%7Bx%5C%7D%2C1-%5C%7Bx%5C%7D%5C%20)$ 即 $x$ 到最近整数的距离

$a%5Cmid%20b$ 表示b整除a， $a%5Cnmid%20b$ 则表示b不整除a， $p%5El%20%5Cparallel%20n$ 表示 $p%5Cmid%20n$ 但 $p%5E%7Bl%2B1%7D%5Cnmid%20n$

$a%5Cequiv%20b%5Cmod%20n$ 表示同余，

以 $%5Cbar%20G$ 表示复平面上区域 $G$ 的闭包， $%5Cpartial%20G$ 表示它的边界， $H(G)$ 表示在 $G$ 中解析的函数集合， $%5Cbar%7B%20%5Cmathbb%20C%7D%3A%3D%5Cmathbb%20C%5Ccup%5C%7B%5Cinfty%5C%7D$ 为扩充复平面，对复平面上的无界域 $G$ ，记其扩展边界为 $%5Cpartial_%7B%5Cinfty%7DG%3A%3D%5Cpartial%20G%5Ccup%5C%7B%5Cinfty%5C%7D$ ，而若 $G$ 有界则 $%5Cpartial_%7B%5Cinfty%7DG%3A%3D%5Cpartial%20G$ .

大O符号（Big O notation）定义为：

$g(x)%3D%5Cmathcal%20O(f(x))%5Ciff%20g(x)%5Cll%20f(x)%5Ciff%20%20%7Cg(x)%7C%5Cle%20cf(x)$

其中c可以是依赖于某些参数的常数，这是个比较抽象的定义，实际它就是一个用来描述误差的符号，会用在许多估计中，可以理解为不超过f（x）的误差，有时也称它为阶

大θ符号（Big theta notation）：

$g(x)%3D%5CTheta(f(x))%5Ciff%20c_1f(x)%5Cle%20g(x)%5Cle%20c_2f(x)$

是比大O更精确的估计

小o符号

$g(x)%3Do(f(x))%5Ciff%20%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bg(x)%7D%3D0$

数论

$%5Comega(n)%2C%5COmega(n)$ 分别表示n的不同素因子个数与全部素因子个数，即不计算与计算重数后的素因子个数

恒等函数 $%5Cmathrm%7Bid%7D(n)%3Dn%2C1(n)%3D1$

Mobius函数

$%5Cmu(n)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A0%20%26%20%5Comega(n)%E2%89%A0%5COmega(n)%5C%5C%20(-1)%5Er%20%26%20%5Comega(n)%3D%5COmega(n)%3Dr%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

$f(n)%2Cg(n)$ 为一数论函数，则

$f*%20g(n)%3D%5Csum_%7Bd%5Cmid%20n%7Df(d)g%5Cleft(%5Cfrac%20nd%5Cright)%3D%5Csum_%7Bn%3Dab%7Df(a)g(b)$

为f与g的Dirichlet卷积，取 $g(n)%5Cequiv1$ ，则为Mobius变换 $%5Ctilde%20f(n)$ ：

$%5Ctilde%20f(n)%3D%5Csum_%7Bd%5Cmid%20n%7Df(d)%5CRightarrow%20f(n)%3D%5Csum_%7Bd%5Cmid%20n%7D%5Cmu(d)%5Ctilde%20f%5Cleft(%5Cfrac%20nd%5Cright)$

示性函数

$%5Cvarepsilon(n)%3D1%5Ccirc%5Cmu(n)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A1%20%26%20n%3D1%5C%5C%200%20%26%20n%EF%BC%9E1%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

Euler函数 $%5Cphi(n)$ 表示与n互素且不超过n的整数个数，

$%5Cphi(n)%3Dn%5Cprod_%7Bp%5Cmid%20n%7D%5Cleft(1-%5Cfrac1p%5Cright)$

除数函数 $d(n)$ 表示n的除数个数，

$d(n)%3D%5Csum_%7Bd%5Cmid%20n%7D1$

von Mongoldt函数

$%5CLambda%20(n)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A%5Clog%20p%20%26%20%5Comega(n)%3D1%2Cn%3Dp%5Em%20%5C%5C%200%20%26%20%5Comega(n)%EF%BC%9E1%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

Tchebychev psi、theta函数

$%5Cpsi(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7D%5CLambda(n)%2C%5Cvartheta(x)%3D%5Csum_%7Bp%5Cle%20x%7D%5Clog%20p$

广义反演

$f*%20g(n)%3D%5Cvarepsilon(n)$ ，则

$G(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7Df(n)F%5Cleft(%5Cfrac%20xn%5Cright)%5CRightarrow%20F(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7Dg(n)G%5Cleft(%5Cfrac%20xn%5Cright)$

$G(s%2Cm)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20f(n)%5Cfrac%7BF(s%2Cmn)%7Dn%5CRightarrow%20F(s%2Cm)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20g(n)%5Cfrac%7BG(s%2Cmn)%7Dn$

对数积分函数

$%5Cmathrm%7BLi%7D(x)%3D%5Cint_0%5Ex%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dt%7D%7B%5Cln%20t%7D%3D%5Cint_2%5Ex%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dt%7D%7B%5Cln%20t%7D%2B%5Clim_%7B%5Cvarepsilon%5Cto0%7D%5Cint_0%5E%7B1-%5Cvarepsilon%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dt%7D%7B%5Cln%20t%7D%2B%5Cint_%7B1%2B%5Cvarepsilon%7D%5E2%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dt%7D%7B%5Cln%20t%7D$

$%5Cmathrm%7Bli%7D(x)%3D%5Cint_2%5Ex%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dt%7D%7B%5Cln%20t%7D$

常义Dirichlet级数

$f(n)$ 为数论函数，

$%5Cmathcal%20D(s%3Bf)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20f(n)n%5E%7B-s%7D$

广义Dirichlet级数

$%5Clambda(n)%2Cf(n)$ 为数论函数

$%5Cmathcal%20D(s%3B%5Clambda%2Cf)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20f(n)e%5E%7B-%5Clambda(n)s%7D$

分析

单位阶跃函数

$u(t)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A1%20%26%20t%EF%BC%9E0%5C%5C%20%5Cfrac12%20%26%20t%3D0%5C%5C%200%20%26%20t%EF%BC%9C0%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

Dirac delta函数

$%5Cdelta(t)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A1%20%26%20t%3D0%5C%5C%200%20%26%20t%E2%89%A00%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

常义卷积

$f*g(x)%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20f(t)g(x-t)%5Cmathrm%20dt$

Fourier变换

$%5Cmathcal%20F%5C%7Bf%5C%7D(%5Cxi)%3D%5Chat%20f(%5Cxi)%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20f(t)e%5E%7B-i%5Cxi%20t%7D%5Cmathrm%20dt$

$%5Cmathcal%20F%5E%7B-1%7D%5C%7B%5Chat%20f%5C%7D(t)%3Df(t)%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20%5Chat%20f(%5Cxi)e%5E%7Bi%5Cxi%20t%7D%5Cmathrm%20d%5Cxi$

Laplace变换

$%5Cmathcal%20L%5C%7Bf%5C%7D(s)%3DF(s)%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7Df(t)e%5E%7B-st%7D%5Cmathrm%20dt$

$%5Cmathcal%20L%5E%7B-1%7D%5C%7BF%5C%7D(t)%3Df(t)%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_%7B%5Csigma-i%5Cinfty%7D%5E%7B%5Csigma%2Bi%5Cinfty%7DF(s)e%5E%7Bst%7D%5Cmathrm%20ds$

Mellin变换

$%5Cmathcal%20M%5C%7Bg%5C%7D(s)%3DG(s)%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty%20g(x)x%5E%7Bs-1%7D%5Cmathrm%20dx$

$%5Cmathcal%20M%5E%7B-1%7D%5C%7BG%5C%7D(t)%3Dg(t)%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_%7B%5Csigma-i%5Cinfty%7D%5E%7B%5Csigma%2Bi%5Cinfty%7D%20G(s)x%5E%7B-s%7D%5Cmathrm%20ds$