[高中数学] 函数单调性与值域 (Ⅲ)

在第一讲中，我们介绍到了一些简单基础函数的单调性，

而在第二讲中，我们介绍了这些简单基础函数的一些简单的组合形式，

例如，两个简单函数的和函数，以及复合函数。

但是对于任意的函数，就像是两个函数之积，我们仍然是无法判断单调性

如函数，

甚至连最简单基础的两个函数之和都无法判断单调性，

如函数，而且这些都是形式简洁的函数，

即使是如此简洁，我们都无法判断单调性，就别提值域了，这显然是不符合我们的要求的。

那么本讲中，我们将会开启新的篇章，

开始介绍函数单调性中一个极为重要的概念，

导函数，一般简称为，导数，但实际上还是有点区别的，可以参考教科书，我们这里不作区分

我们回忆一下，什么叫做斜率呢？

设两点的坐标分别为，则两点连线的斜率，就是，如图所示

看到这条直线，我们又很容易想到了我们最初学到的，一次函数！

我们知道，对于这样的函数，当，函数为增函数，当，函数体现为减函数。

从而我们容易断论：

当两点连线的斜率，则两点之间表现为增，当两点连线斜率，则两点表现为减。

知道这一事实后，便可以开始我们的暴论了！

我记得我们高一物理的时候，就开始介绍过切线，那么切线究竟是如何得到的呢？

这里我们以图为例，进行简要说明。

不妨将A点固定在点（0,1），让点B运动起来，依次得到AB1、AB2.....ABn，每次都连接AB，得到对应的斜率。

当B1在，便得到斜率，我们很容易知道，A到B1是有一个增大的趋势，但只是A到B1这个结果，因为我们只是通过这两点得到的斜率，没有得到其他信息。那么A到B这个过程到底是如何的呢？

那我们不妨让B慢慢的靠近A，

当B位于B2,也即，得到斜率，这说明A到B2也还是有递增的趋势，还是和上面一样，得不到我们想要的结果。

现在，当我们的B到达了A的前面一点点的位置，也即，注意，这里是因为A点满足。

更一般的，若点A在时，此时B则变成，就因为这样，我们才说B点刚好在A点前面一点点！

那么此时AB之间的斜率呢？

，（即函数）

这样似乎后面吊着个尾巴，不好看，于是我们写作，

那么现在我们得到的是，

AB两点连线的斜率，我们知道，此时的B已经在A的前面很近很近，几乎是中间插不进任何东西了！(由实数的稠密性知道，并非如此，但我就是要这么说！！！只是为了强调两者的逼近)

从而我们知道，A点向后走，我们把数值带入有，

因为，所以在AB之间是有增长的趋势的。

而AB之间几乎容不得任何其他东西，所以我们可以说，A点之后，有增长趋势！

这里，我们是针对固定的这个A点，但是A点其实也是可以运动的。

于是我们让A点也动起来，而B点随着A点运动而随之运动！

那么斜率就是

我们就得到了一个奇怪的东西，

，这个东西实际上只与x有关，表达的是什么意义呢？就是x点的斜率，也就他的运动趋势。

正是因为这个特殊的东西，我们将他命名为，导函数。

将其这样书写，

从上面的分析我们知道，实际上，这个函数对应的就是各点的切线斜率值。(斜率不就意味着他的增减趋势嘛？！)

然后我们就很轻松的能够得到相应的数据了。

这里直接给出相关的导数公式。(注：非x的字母，默认为常数!)

这些便是最为基础的。

同时我们也要知道，导数也有四则运算。

不妨设 

那么又有

这些都是要记忆的，

对于乘法，我是这样记忆的。

我们不妨把 求导 想象成 “打脸”

两个积 的导

先把左边的脸打一下，再乘上右边的，

那左边的被打了，右边的凭什么不打？

要雨露均沾，

所以同样的操作来一遍，

就有了上式。

以上都是开玩笑的，切勿伤害同学感情哦~

现在有了理论基础，我们就可以开始了。

比如对于先前的函数，那他的单调性怎么判断呢？

令，有

我们知道，当的值大于0时，也就意味着该点的切线斜率是大于0的，表明在该点时，函数有增长的趋势。

那么什么时候，呢？很容易得到，当，是如此。

也就是说明，函数在这段区域，有向上增长的趋势。

同理，当时，函数有减小的趋势。

那么作为分界点，是什么特殊的值呢？很明显，这是个极大值。

综上分析，我们知道：

如图所示。

图像显示的和我们预想的是一致的。

关于函数的导数，三言两语是很难说清楚的。

大家做多了便能够轻易的发现，这需要我们对于函数的零点具有清晰的判断能力。

而往往很多函数的零点却又不是那么容易找到！

这又会涉及到很多问题。

这里不作太多深入的探讨。

常见的函数分析题型，

对于含有的是十分特殊的，因为他的导数会退化成很简单的反比例函数，便与我们前面所熟悉的幂函数达到了一致。也就容易分析起来了。

如对于上式，我们有

从而很容易得出，

大家可以看到，实际上上面所介绍的，仍然是简单的函数。

那么对于复合函数呢？

值得一提的是，复合函数的求导遵循一个原则，

链式法则

那么什么叫链式法则呢？

我们仍作第二讲中的说法，

我们不妨简推导他的计算公式

总之，上述说明了一个问题，复合函数，也可以通过求导解决单调性问题。

例如对于从前我们所学过的

，我们知道可以写作

，

从而我们得到，

整理带入一下，即有

，我们又知道，定义域为，故恒成立。

故有函数单调递减恒成立。与我们上次所说的是一致的。

值得一提的一个小东西。

我不太明白，为啥总是会有人，把的导数求错....

利用上面的公式，我们不难求得

带入一下，很容易得到

事实上，我们知道，

左边那个是个常数项，导数为0啊.....

总之今天的就是这样了。

有啥好玩的，以后再分享，知识有点多，大家好好理解一下，不配置习题了！