费尔巴哈定理的三种证明

（第三种界心坐标的证明非原创做法）

费尔巴哈定理是由费尔巴哈发现的，内容是三角形的费尔巴哈圆（九点圆）与内切圆和三个旁切圆相切；
乍一看感觉人生无望，这怎么还能把这几个圆联系在一起呢？
但人家费尔巴哈做到了。。我们将给出几何法、反演法（半几何，属于高等几何入门的范畴）、解析法三种解法，
首先，九点圆定理大家都应该知道，不知道的详情百度百科
一、几何方法：一个正常人肯定不会用圆心距等于半径之差的方法。。所以一般情况下，我们会构造出切点，再证明是公切点，
给出一种方法：

这个是一种较为简洁的证明，不要看辅助线和辅助点的数量，实际上是比较自然的方法，这种方法应该不难理解，之中跳过的步骤都是极为显然的，读者自证不难。。
二、反演方法：一种是通过反演距离公式算出圆心距，我这里选的是直接使反演像为旁切圆公切线的方法，建议先自学反演再来阅读这一篇章。。

另外：关于最后一步的公切线证明留给读者，图中并没有给出辅助线。。（主要是我忘了画，画了会十分显然。。）当然旁切圆与反演圆正交也是显然的，读者可以通过定义直接证明。。
三、解析方法：我本来认为，用解析来做会非常复杂，尤其是这种多圆问题直到我看到了界心坐标这种东西，本质上是用四个未知元表示三角形中的所有特殊点，然而证明方式简单粗暴，直接算出圆心距即可。。

 还有一件事：关于这种坐标下的其他特殊点，希望大家自行探究
四、综述
文中我仅是以内切圆或旁切圆单独的情况来证明，读者可以自行尝试将这几种证法推广到其他情况（第一种和第二种需要多想想），留给读者作为课后习题，好这节课到此结束，下课！