一个奇怪的级数求和......

原题如下图，规则很奇怪，看起来很棘手，但求解却很令人舒适

首先，我们引入一个辅助函数ψ(x)，即双伽马函数（Digamma function）来解题，其定义式为：

其中Γ(x)被称作为伽马函数（Gamma function），也就是我们常说的阶乘，其定义如下：

但为了计算非正整数的阶乘，我们更常用到其一般形式：

不过这里我们要用方法的与伽马函数无关，而是双伽马函数的另一种形式（无穷级数和表达）：

其中γ被称为欧拉-马斯克若尼常数（Euler-Mascheroni constant），其定义式为：

其值约为γ≈0.577

我们计

不难知道S是绝对收敛的，也就符合黎曼重排定理，于是我们可以对S的求和顺序进行重排，得到：

而对于双伽马函数，我们有如下反射公式（类似于伽马函数的余元公式）成立：

利用反射公式，我们得到：

由三角函数的诱导公式：

得到：

于是我们只需要对这个三角函数式进行计算即可得到最终的结果

我们令：

一方面，我们有：

其为一个无意义的数，另一方面，我们有：

于是我们可以得到：

于是有：

将tan6θ展开，令α=tanθ，我们得到：

整理后得到方程：

该方程的六个根便是tanθ的六个值

接下来便是整个证明中最巧妙的一部分：如何在不直接求解该方程的情况下得到原式的值

根据诱导公式，我们知道：

于是根据韦达定理，我们可以得到：

所以

而

即

以β=1/α代替(*)式中的α，得到关于β的方程（这里β可表示cotθ）

再次使用韦达定理（σ_2）得到：

我们计

不难发现：

由tanx和cotx在(0,π/2)的单调性我们知道x_1和x_2均大于零，而该方程组有唯一正数解组

于是：

解答完毕