【数学基础29】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
数列lim n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；
收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；
收敛数列必有界；
有限个无穷小的和还是无穷小；
有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；
设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；
设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；
设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；
设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.
定比分点：在线段P1P2上求一点P，使得由P分成的两个有向线段P1P与PP2的量的比为定数λ（λ不为-1），即P1P/PP2=λ，则P为线段P1P2以λ为定比的分点，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分点公式。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'；
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
证明：若{an+an+1}，{an+an+2}均为收敛列，则{an}是收敛列。
证：
{an+an+1}，{an+an+2}均为收敛列，令lim an+an+1=a，liman+an+2=b；
an+1
=（an+an+1）-an
=（an+an+1）-（an+an+2）+an+2
=[（an+an+1）-（an+an+2）+（an+1+an+2）]/2；
an+2
=（an+an+2）-an
=（an+an+2）-（an+an+1）+an+1
=[（an+an+2）-（an+an+1）+（an+1+an+2）]/2；
lim[（an+an+1）-（an+an+2）+（an+1+an+2）]/2=（a-b+a）/2=a-b/2，
lim[（an+an+2）-（an+an+1）+（an+1+an+2）]/2=（b-a+a）/2=b/2，
则a-b/2=b/2，a=b；
lim an=a/2，证毕。
解析几何——
例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——
证明：用向量证明三角形的正弦定律，即在三角形ABC中：a/sin A=b/sin B=c/sin C
证：记AB=c，AC=b，BC=a，|a|=a，|b|=b，|c|=c于是c+a=b——
bxc=（c+a）xc=cxc+axc=axc，axb=ax（c+a）=axc+cxc=axc，
由1：axb=bxc=axc，则|axb|=|bxc|=|axc|；
由2：|a||b|sin∠（a，b）=|b||c|sin∠（b，c）=|a||c|sin∠（a，c），
即，|a||b|sin∠ C=|b||c|sin∠A=|a||c|sin（п-B）=|a||c|sin B；
由3：abc/absin C=abc/bcsin A=abc/acsinB，即c/sin C=a/sin A=b/sinB，证毕。
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
证明：如果A与B都是n级对称矩阵，那么AB-BA是斜对称矩阵。
证：
A与B都是n级对称矩阵，则A'=A，B'=B；
（AB-BA）'=（AB）'-（BA）'=B'A'-A'B'=BA-AB=-（AB-BA），即AB-BA是斜对称矩阵。
到这里！
