代数几何的学习路线

有一个自下而上的学习方法。偏向于用计算学代数几何。看GTM52跟范畴论都是自上而下。

首先要学代数曲线，学会奇异点解消以及它和交换代数的仿射簇的坐标环之间的对应关系。认识交换代数能够代数层面打击奇异点解消。

其次学代数数论。 重点学习整基的概念，为诺特正规化引理 ，和交换代数里面的各种整有关的东西提供基础。素理想和各种欧几里得环，唯一分解环，主理想整环都得到具体的印象。

接着学习椭圆曲线。作为亏格1的代数曲线，它的群法则和倍乘映射都可以具体计算，以后学习抽象的除子概念时会有几何印象作为支撑。

再次学习黎曼面。重点是黎曼罗赫定理。顺便学习一点组合交换代数，某个GTM。学会希尔伯特概型，从点概型入门的获取直观印象。

然后可以学习代数曲面了。由紧复曲面之类的教材。通常看起来跟看GTM52一样。会有外国人故意把知识保留起来不传给中国人的感觉。还有导师怎么明明不懂要装懂的感觉。这些都是正常的。如果周围的学的好的人总是不舍得指导你，也不要奇怪。这些都是代数几何这门学问上见识的皮毛现象。学到最后会有数学界原来这么乱，原来科学不是追求清晰，而是利用市场来搞价值存在主义，这些都是正常的。

千万不要深究太详细的代数曲面的分类。但是可以学习小平邦彦的复曲面的简单分类。

接着本来要学习代数曲面的纤维化，可惜这门学科在华东师大和日本大阪大学的几个老师手中，就连哈佛的老师也要写信向他们请教细节计算。所以这个时候你没办法，只能去学习GTM52了。也不要紧，因为他们的垄断，导致现在的代数几何另起炉灶，不理他们了。反而去发展更加高大上的，要广泛使用同调和层论语言的东西去了。最后他们被边缘化了。渐渐的也认识到了纤维化没有前途。然后对外也开始宣传要从GTM52开始学起。

接下来要学习代数曲面的奇异点的解消。问题来了。这个在miles reid那里有详细的东西。和日本山形大学东大等一些老师手上有一些正规奇异点的解消方法。还有kollar也有一些。但是竟然许晨阳也被人说过不懂这方面的细节。

接下来是高维簇的代数几何，就是复旦陈猛等一些人搞得3-fold，n-fold。一般会搞一些代数曲面推广过来的结论隔靴搔痒。

因为大家都不详细。所以你会发现没有人胆敢正面回应你的随便解消一个甚至是ADE奇异点的疑问。只会骂你整天搞一些没价值的。以至于美国顶尖大学会有规定，名教授必须对甚至是学生提出的最基础的问题给出回应的规定。

学了上述所有，即学过了高维簇才是概型。但是，会有一群神仙在你一开始学代数几何时就告诉你。你应该从GTM52开始学习代数几何，那里面有概型的语言。不再依赖计算，用同调的推理来证明结论，避免细节。

然而，奇葩的是，他们学完了GTM52以其后续，写论文的时候无一例外，基本上都是写的低于这个语言的论文。所以给人一种学完了GTM52，以后不再为抽象语言烦恼的错觉。

很多人研究特殊的高维簇，就像研究三角形的人研究正三角形一样，所以他们会搞toric簇。

还有很多人研究特殊的代数曲面--椭圆曲面，其中的雅可比映射，走向了椭圆函数的推广版超几何级数，走向了镜像对称。

还有人卷不动抽象的了，觉得相交数理论具体一点。研究舒伯特链。

后续可能存在50个不同的研究分支方向。大多数用不上概型的语言。大多数都可以出点成果。大多数最后也没有搞懂GTM52.这不影响成为教授的人家。

还有人像我一样，卷都没卷就跑了，走向了黎曼面的具体的研究。就是共形几何，邱成桐在这个方面指明了一些方向。利用三角网格建模做特征识别的算法工作，在公司。