星形线的一种有意思的算法

2023-03-25 22:00 作者:MT9799 0人读过 | 我要投稿

我们都知道，一定长线段在两坐标轴上滑动时扫过的面积边界即星形线

关于其算法，有很多高观点下的求法，也有用各种不等式求最值的方法。不过下面介绍的一种方法不同于以上，比较新颖，而且易于理解

如图，设线段长为 $l$ ，与 $x$ 轴负半轴夹角为 $%5Ctheta%20$

当转过一个微小的角度 $%5CDelta%20%5Ctheta%20$ 时，显然会与刚才的状态有一个交点，记为 $A(x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D%20%20)$

不难看出，当 $%5CDelta%20%5Ctheta%20%5Crightarrow%200$ 时，点 $A$ 恰为星形线上的一点；当 $%5Ctheta%20$ 变化时，点 $A$ 的轨迹即为整个星形线

思路理清，接下来开始计算

某一状态下，线段所在直线方程为

$y%3D-x%5Ctan%20%5Ctheta%20%20%2Bl%5Csin%20%5Ctheta%20%20$

转过微小角度后，线段所在直线方程变为

$y%3D-x%5Ctan%20(%5Ctheta%2B%5CDelta%20%5Ctheta)%20%20%20%2Bl%5Csin%20(%5Ctheta%2B%5CDelta%20%5Ctheta)%20%20$

联立两式，解得 $A$ 点横坐标

$%20x_%7B0%7D%20%3D%5Cfrac%7Bl%5B%5Csin%20(%5Ctheta%20%2B%5CDelta%20%5Ctheta%20)%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%20%5D%7D%7B%5Ctan%20(%5Ctheta%20%2B%5CDelta%20%5Ctheta%20)%20-%5Ctan%20%5Ctheta%7D%20$

求极限

$%5Clim_%7B%5CDelta%20%5Ctheta%20%5Cto0%7D%20x_%7B0%7D%20%20%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20%5Ctheta%20%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bl%5B%5Csin%20(%5Ctheta%20%2B%5CDelta%20%5Ctheta%20)%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%20%5D%7D%7B%5Ctan%20(%5Ctheta%20%2B%5CDelta%20%5Ctheta%20)%20-%5Ctan%20%5Ctheta%7D$

为0/0型，使用洛必达法则

$%5Clim_%7B%5CDelta%20%5Ctheta%20%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bl%5B%5Csin%20(%5Ctheta%20%2B%5CDelta%20%5Ctheta%20)%20-%5Csin%20%5Ctheta%20%20%5D%7D%7B%5Ctan%20(%5Ctheta%20%2B%5CDelta%20%5Ctheta%20)%20-%5Ctan%20%5Ctheta%7D%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20%5Ctheta%20%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bl%5Ccos%20(%5Ctheta%20%2B%5CDelta%20%5Ctheta%20)%20%7D%7B%5Csec%5E2%20%20(%5Ctheta%20%2B%5CDelta%20%5Ctheta%20)%20%7D%3D%5Cfrac%7Bl%5Ccos%20%5Ctheta%20%7D%7B%5Csec%5E2%20%5Ctheta%20%7D$