电路学习笔记87——关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
1. 图的矩阵表示：有向图的拓补性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。
2. 关联矩阵A
(1) 设一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。支路与结点的关联性质可以用所谓关联矩阵描述。
(2) 一个具有n个结点、b条支路的有向图，它的关联矩阵Aa为一个（n*b）的矩阵，它的任一元素ajk定义为：
① ajk=+1，表示支路k与结点j关联并且它的方向背离结点；
② ajk=-1，表示支路k与结点j关联并且它的方向指向结点；
③ ajk=0，表示支路k与结点j无关联。
(3) 特点
① Aa的每一列对应一条支路。由于一条支路连接于两个结点，若离开一个结点，则必指向另一个结点，因此每一列只有两个非零元素，即+1和-1.
② 当把所有行的元素按列相加就得到一行全为零的元素，所以Aa的行不是彼此独立的，或者说Aa的任意一行必能从其他（n-1）行导出。
(4) （降阶）关联矩阵A
① 如果把Aa的任意一行划去，剩下的矩阵用A表示，并成为降阶关联矩阵A。
② 矩阵A的某些列将只有一个+1或一个-1，每一个这样的列必对应于与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当做参考结点。
(5) 关联矩阵A的作用
① 用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程，即Ai=0，其中i为电路中b个支路的电流组成的b阶列向量（支路电流的参考方向为支路方向）。
② 用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程，即u=AT*un，其中u为电路中b个支路的电压组成的b阶列向量（支路电压的参考方向为支路方向），un为(n-1)个结点电压组成的(n-1)阶列向量。
3. 回路矩阵B
(1) 设一个回路由某些支路组成，则称这些支路与该回路关联。支路与回路的关联性质可以用所谓回路矩阵描述。
(2) 一个独立回路数为l，支路数为b的有向图，它的回路矩阵B是一个（l*b）的矩阵，矩阵的元素定义为：
① bij=+1，表示支路j与回路i关联，并且它们的方向一致；
② bij=-1，表示支路j与回路i关联，并且它们的方向相反；
③ bij=0，表示支路j与回路i无关联。
(3) 基本回路矩阵B
① 如果所选独立回路组是对应于一个树的单连支回路组，这种回路矩阵就称为基本回路矩阵Bf。
② 写Bf时，注意安排其行、列次序如下：把l条连支一次排列在对应于Bf的第1至第l列，然后再排列树支；取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的序号，且以该连支的方向为对应回路的绕行方向。此时Bf将出现一个l阶的单位子矩阵，即Bf=[1l Bt]（基本回路矩阵形式）.
(4) 回路矩阵B的作用
① 用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程，即Bu=0，其中u为对应支路电压的列向量。
② 用回路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程，即i=BT*il（回路电流法），其中il为对应独立回路电流的列向量。
4. 基本割集矩阵Qf
(1) 设一个割集由某些支路组成，则称这些支路与该割集关联。支路与割集的关联性质可以用所谓割集矩阵描述。
(2) 割集方向：移去割集的所有支路，G被分离为两部分后，从其中一部分指向另一部分的方向，即为割集的方向，每一个割集只有两个可能的方向。
(3) 一个结点数为n，支路数为b的有向图，其独立割集数为（n-1），它的割集矩阵Q是一个[（n-1）*b]的矩阵，矩阵的元素定义为：
① qij=+1，表示支路j与割集i关联，并且它们的方向一致；
② qij=-1，表示支路j与割集i关联，并且它们的方向相反；
③ qij=0，表示支路j与割集i无关联。
(4) 基本割集矩阵Qf
① 如果选一组单数支割集为一组独立割集，这种割集矩阵称为基本割集矩阵Qf。
② 在写Qf时，注意安排其行、列次序如下：把（n-1）条树支依次排列在对应于Qf的第1至第（n-1）列，然后排列连支，再取每一单树支割集的序号与相应树支所在列的序号相同，且选割集方向与相应树支方向一致，则Qf的形式为Qf=[1t|Ql],式中下标t和l分别表示对应于树支和连支部分。
(5) 基本割集矩阵Qf的作用
① 用基本割集矩阵Qf表示矩阵形式的KCL方程，即Qf*i=0.
② 用QfT表示矩阵形式的KVL方程，即u=QfT*ut,其中ut为（n-1）个树支电压组成的列向量。
5. 总结：用关联矩阵A、回路矩阵B和割集矩阵Q表示的KCL和KVL如图。
