《几何原本》命题4.10【夸克欧氏几何】

命题4.10：

可作一已知正方形的外接圆

已知：线段AB，点C在AB上

求：作一等腰三角形，使其每个底角等于顶角的二倍

解：

以点A为圆心，AB为半径作圆BDE

（公设1.3）

以点B为端点作拟合线BD=AC

（命题4.1）

连接AD，CD

（公设1.1）

作△ACD的外接圆ACD

（命题4.5）

证：

∵点C在AB上

（已知）

∴S矩形AB×BC=S正方形AC2

（命题2.11）

∵AC=BD

（已知）

∴S矩形AB×BC=S正方形BD2

（公理1.1）

∴BD切圆ACD于点D

（命题3.37）

∴∠BDC=∠CAD

（命题3.32）

∴∠ADB=∠CAD+∠CDA

（公理1.2）

∵△BCD中，∠ACD=∠CAD+∠CDA

（命题1.32）

∴∠ADB=∠ACD

（公理1.1）

∵点A是圆BDE的圆心

（已知）

∴AB=AD

（定义1.15）

∴∠ABD=∠ADB

（命题1.5）

∴∠ABD=∠ACD

（公理1.1）

∴BD=CD

（命题1.6）

∵BD=AC

（已知）

∴AC=CD

（公理1.1）

∴∠CAD=∠ADC

（命题1.5）

∴2∠CAD=∠ADC+∠CAD

（公理1.2）

∴△ACD中，∠BCD=∠ADC+∠CAD

（命题1.32）

∴∠BCD=2∠CAD

（公理1.1）

∵∠BCD=∠ABD=∠ADB

（已证）

∴∠ABD=∠ADB=2∠CAD

（公理1.1）

证毕

此命题将在下一命题中被使用

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