Materials Studio——CASTEP基础教程「14」

1.布里渊区的高对称点

能带图的横坐标是在模型对称性基础上取的K 点。为什么要取K 点呢?因为晶体的周期性使得薛定i号方程的解也具有了周期性。按照对称性取K 点，可以保证以最小的计算量获得最全的能量特征解。能带图横坐标是K 点，其实就是倒格空间中的几何点。其中最重要也最简单的就是（有的文献中也标为G) 那个点，因为这个点在任何几何结构中都具有对称性。所以在CASTEP 里，有个最简单的K 点选择，就是那个gamma 选项。纵坐标是能量，那么能带图就表示了研究体系中，各个具有对称性位置的点的能量。我们所得到的体系总能量，就是整个体系各个点能量的加和。

如前所述， 一维周期条件下的布里渊区的能带是一条线。如果加上二维（x， y) 的周期边界条件，这些能带又会变成什么样呢?答案是一个面，由原来的线组成一个面。接下来讨论，布里渊区里面的高对称点（r，x， F， M 等)是怎么来的。

因为在一维情况下用一条能带来表示k 矢量(对称操作)和能级的关系，用E(k)来表示， 这构成第一布里渊区c ep k 的取值范围[叶。对于二维周期体系，需要两个平移矢量kx和ky，所以能带可以用E(kx，ky)来表示，当kx=0 时，变成E(0，ky）得到一条能带（y 方向上与一维周期情况的能带类似);当ky = 0 时，变成E(kx，0) ，得到一条能带。由于ι 和鸟是矢量，它们可以组合成另外一个矢量，这个矢量不是沿着X轴，也不是沿着Y 轴。实际上沿着该矢量仍是能够得到一个能带的，这样的矢量有很多，所有的这些能带将构成一个面。如果在作能带结构图的时候，将能带结构按照二维的面画出来是很困难的，而三维的情况更加困难。因为对称操作有很多， k 矢量的取值有很多，所以一个可行的办法就是让k的取值沿着一定的路径走，最后回到起点，如图4.10（二维情况)。

这样，只要选择一些较高的对称点，就可以确定这个路径。比如二维的布里渊区是一个面，这个面上每一点与原点cr 点)的连线都构成一个k 矢量，有一个k 矢量就有一个能级E(的对应。所以，二维的能带结构是这个布里渊区上的一个平面(面积)，如图4.10所示。按照r→X→M→r 这个路径走，就可以得到一个可以大致反映布里渊区上的能带平面的一个近似图，这就是二维的能带结构。具体的能带图的展开如图4.11 所示。

三维的能带展开如图4.12 所示。