【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第九章物体的平衡

【山话||  本篇专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；而老教材中的重量单位公斤，如今是用力单位牛顿表示，而如今力是不允许使用公斤为单位的】 

§9-2有固定转轴的物体的平衡条件，力矩

【01】门、窗、磨子、绞盘等等都是有固定转轴的物体。怎样才能使它们转动起来呢？我们可以拿图9·11所示的绞盘（船上起锚用的绞盘）为例来进行讨论。图上O-O'表示绞盘的固定转轴。只要一看图，谁都会说出：象图中所表示的两种情况，不论用多大的力，绞盘是不会被转动的。

【02】只有象图9·12(a)所表示的那样，才是最合适的推法。可是，我们能从这样的经验中总结出什么规律来呢？那就需要对这三种情况进行分析，找出力和转轴之间的关系。

【03】象图9·11(a)所表示的那样，水手用的力 F 是和转轴 O-O' 平行的；象图9·11(b)所表示的那样，水手用的力F是和转轴O-O'相交的；在这两种情况下，力F和转轴O-O'总是在同一平面上（平行或相交的两直线决定一个平面），它们都不能推动绞盘。经验还证明，任何与转轴同一平面的力都不能推动它。

【04】象图9·12(a)所表示的那样，水手用的力F和转轴 O-O' 既不平行、又不相交，它们不在同一平面内，同时，F沿水平方向，而轴 O-O' 沿竖直方向，两者垂直，如图9`12(b)所示。我们称这种关系为异面垂直。如果水手的双手用的力不是水平向前，而是向前偏向上方或向前偏向下方，如图(9·13)所示，则在这两种情况下，力和转轴仅是异面（不在一平面），但不垂直。经验证明，凡是和转轴异面的外力都能使绞盘转动；但是，垂直时效果好，不垂直时效果差。所谓效果好就是可以省力一些。

【05】为什么在推动一个有固定转轴的物体时，异面垂直的力比不垂直的效果好呢？我们可以用图9·14来说明。O-O' 是转动物体的固定轴，F 是作用在物体上的外力，它和转轴异面而不垂直。把外力 F 分成两个分力，一个分力是 F'，它和转轴异面垂直，另一个分力是 F”，它和转轴平行。前面已经讲过，和转轴平行的力是不能推动物体的，能推动物体的只是分力 F' 。这就是说，当外力与转轴异面而不垂直时，只有异面垂直的分力才是有效的，这个分力 F” 总比 F' 小，所以它的效果差。

【06】通过以上的分析，我们可以得出一个结论：在推动有固定转轴的物体时，凡是与转轴在同一平面上的外力都不能使它转动起来，只有与转轴异面垂直的外力（或外力与转轴异面垂直的分力）才能使它转动起来。

【07】让我们再回过来想一想，我们平常推门、推窗、推磨以及推动一切有固定转轴的物体，是怎样用力的呢？不是尽可能使力与转轴异面垂直吗？这些活生生的事实也就说明了上述结论的正确性。

【08】经验还指出，同样是与转轴异面垂直的力，对于推动一个转动物体来讲，效果也不是一样的。例如，我们在距离转轴不远的地方推门或推窗，就要用较大的力，力过小就推不动；相反，在距离转轴较远的地方推，只要用很小的力就可以推动。这说明：要使一个有固定转轴的物体转动，不仅要有与转轴异面垂直的力，还与力跟转轴之间的距离有关。因此我们规定：

【09】在力 F 和转轴异面垂直的情况下，力和转轴之间的垂直距离（公垂线的长度）叫做力臂，用 L 表示，力 F 和力臂 L 的乘积叫做力矩，用 M 表示，即 M = F × L  。

【10】我们用下面几个简单的事例来具体说明力臂和力矩的意义。

【11】如图9·15所示，各图中的OA都代表一根细杆，A是力的作用点，O代表一只垂直于纸面的小铁钉，作为细杆绕它转动的固定转轴。

【12】在图9·15(a)中，力F的作用线的延长线通过O点（即与转轴相交），因此，力臂等于零，力矩也等于零。这样的力一定与转轴在同一平面上，不能使杆绕O轴转动。

【13】在图9·15(b)中，力的作用线与转轴异面垂直，同时也垂直于杆，其力臂 L =，力矩 M = F ×。由于这个力矩的作用，使细杆绕O轴转动。

【14】在图9·15(c)中，力的作用线与转轴异面垂直，但与细杆成 θ 角（θ≠90°）。在这种情况下，我们可以用两种不同的方法来计算力矩。第一种方法是直接根据力矩的定义来计算，先把力 F 的作用线适当延长，然后画出它与转轴之间的公垂线 OB，它就是力臂 L 从图中可以看出L =sin θ  。所以力矩 M = F×L = F×sin θ  。

【15】第二种方法是把力 F 分成为两个分力，一个平行于细杆的 F₁ 和一个垂直于细杆的F₂ 。根据前面的讨论，已知 F₁ 的力矩等于零，F₂ 的力矩 M' = F₂× = Fsinθ×= M  。由此可见，分力 F₂ 的力矩等于合力 F 的力矩。

【16】由于力矩是由力和转轴两方面的条件来决定的，力矩的完整叙述应当是：某一个力对某一个轴的力矩。拿上面这个例子来讲，应当是：力 F 对轴 O 的力矩等于F×sinθ  。也就是说，讲力矩时必须讲明什么力对什么转轴。

【17】力矩的单位是由力的单位和力臂的单位决定的。如果力的单位是1克，力臂的单位是1厘米，那么，力矩的单位就是1厘米·克。如果力的单位是1公斤，力臂的单位是1米，那么，力矩的单位就是1米·公斤【山注||  此处已强调是如果，如今是决不允许力使用公斤为单位】。此外，力矩的单位还有1厘米·达因，1米牛顿等。

【18】各个力矩的不同，不仅在于它们的大小，还在于它们使物体转动的方向。一般规定：使物体向顺时针方向转动的力矩为正力矩，使物体向反时针方向转动的力矩为负力矩。例如，在图9·15(b)和(c)中，F 的力矩都使杆绕 O 轴作顺时针方向转动，所以都是正力矩。

【19】现在我们来讨论有固定转轴的物体的平衡条件。我们来做一个简单的实验。图9·16表示一根均匀的直杆或米尺，它的中间由一个无摩擦的刀口支住，代表固定转轴。杆上每一格代表一定的距离，例如10厘米。在刀口左边40厘米处悬挂400克的砝码，右边20厘米处悬挂200克的砝码，40厘米处悬挂300克的砝码，这样，当我们看到杆仍保持水平时，就说明它在这三个力的作用下处于平衡状态。

【20】这里，刀口就是固定转轴，杆就是有固定转轴的物体，它受到三个力的作用。400克力的力臂是40厘米，它的力矩 M₁ 为 M₁ =－400 x 40 =－16,000厘米·克，负号表示它使杆向反时针方向转动。

【21】200克力的力臂是20厘米，它使杆向顺时针方向转动，它的力矩 M₂ 为 M₂ =200 × 20=4000厘米·克。

【22】300克力的力臂是40厘米，它也使杆向顺时针方向转动，它的力矩 M₃ 为 M₃ = 300 × 40 = 12,000厘米·克。

【23】杆受到的总力矩 M 为 M =M₁+M₂+M₃ =－16,000+4000+12,000 = 0  。

【24】读者可以变更各个力的力臂再做几次实验。结果都会告诉我们：只有在总力矩等于零的条件下，物体才不绕它的转轴转动。因此，我们可以说：

【25】有固定转轴的物体的平衡条件是作用在物体上的总力矩等于零。

例3.图9·17是一块圆板。圆板上第一个圆圈的半径是5厘米，每相邻两圆圈的半径相差5厘米。固定转轴是通过圆板中心 O 而垂直于圆板的直线。各圆圈上都钉上一些小钉，用绳子把砝码悬挂在小钉上，右边的 F₁ 和 F₂ 是各经过一个滑轮的，左边的 F₃ 不经过滑轮。每个砝码的重量都是1公斤，求各力的力矩。又圆板在这三个力矩的作用下是否平衡？

【解】

        F₁ 是1公斤，力臂是20厘米 = 0.2米；

        F₂ 是4公斤，力臂是10厘米 = 0.1米；

        F₃ 是2公斤，力臂是30厘米 = 0.3米。

        F₁ 的力矩 M₁ 为 M₁ = 1×0.2 = 0.2米·公斤；

        F₂ 的力矩 M₂ 为 M₂ = 4×0.1 = 0.4米公斤；

        F₃ 的力矩 M₃ 为 M₃ =－2x0.3 =－0.6米·公斤。

        ∴ 总力矩 M = M₁+M₂+M₃ = 0.2+0.4－0.6 =0  。即圆板处于平衡状态。

习题9-2

1、火车车轮的边缘和制动片之间的摩擦力是50公斤，如果车轮的半径是0.45米，求摩擦力的力矩。【22.5米·公斤】【山注||  此处的公斤用法如今已经禁用，力不能使用公斤为单位】

2、作用力在车床轴轮上的力矩等于6.25米·公斤，轴轮的直径是25厘米，求作用力的大小。【50公斤】【山注||  此处的公斤用法如今已经禁用，力不能使用公斤为单位】

3、有一个物体绕一水平的轴转动，今在轴的左方相距12厘米处，加上一个竖直向下的力3公斤，问应在何处加上4.5公斤的竖直向下的力，才能使物体不转动？【右方8厘米处】【山注||  此处的公斤用法如今已经禁用，力不能使用公斤为单位】

4、有一个物体，使它向顺时针方向转动的力是5公斤和3公斤，力臂分别为50厘米和25厘米。使它向反时针方向转动的力是2公斤和6公斤，力臂分别为75厘米和20厘米。问这个物体将向哪一个方向转动？还要增加多大的力矩才能使它平衡？这个力矩是正的还是负的？【0.55米·公斤，负的】【山注||  此处的公斤用法如今已经禁用，力不能使用公斤为单位】