e^x泰勒展开的部分和多项式根的分布

2022-04-02 22:26 作者:磁悬浮青蛙呱呱呱 0人读过 | 我要投稿

$e%5Ex$ 的泰勒展开如下：

$%20e%5Ex%3D1%2Bx%2B%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D%7B2!%7D%2B%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D%7B3!%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cdfrac%7Bx%5En%7D%7Bn!%7D%2B%5Ccdots$

其部分和多项式为

$S_n(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D$

一个显而易见的等式是：

$S_n'(x)%3DS_%7Bn-1%7D(x)$

利用上式，再结合数学归纳法容易证明，当n是奇数时， $S_n(x)%3D0$ 有且仅有一个实根，实根随n单调递减；当n是偶数时， $S_n(x)%3D0$ 没有实根，有且仅有一个正的极小值点。2012华约自主招生考了结论。参见
https://wenku.baidu.com/view/20088d6359fb770bf78a6529647d27284b7337dc.html ，第14题。

下面两个视频也介绍了 $S_n(x)$ 的一些性质。

下图就是 $S_n(x)%3D0$ 的全部复数根在复平面上的分布，

上图充分体现了Lucas定理：设 $f_n(z)%3D(z-z_1)(z-z_2)%5Ccdots%20(z-z_n)%20$ 是一个复系数多项式，则 $f'_n(z)$ 的零点落在点 $z_1%2Cz_2%2C%5Ccdots%2Cz_n$ 构成的凸包之内。对平面点集的凸包做一个通俗的解释：在每个点上插一颗图钉，然后用一根拉长的橡皮筋从外围去套这些图钉，橡皮筋收紧以后所形成的凸多边形就是这个点集的凸包(如下图)。

‍当 $n%5Cto%20%2B%5Cinfty$ 时， $S_n(x)%3D0$ 的全部复数根除以n后，渐近分布在
曲线 $x%5E2%2By%5E2%3De%5E%7B2x-2%7D%20$ 上，写成复数形式为 $%7Cz%7C%3D%7Ce%5E%7Bz-1%7D%7C%20$ ，或者 $%7Cze%5E%7B1-z%7D%7C%3D1$ ，这被称为Szego曲线，参考文献如下：

G. Szego, Uber eine Eigenschaft der Exponentialreihe, Sitzungsberichte der Berliner Math. Gesellschaft 21 (1922) 50–64.
R.S. Varga, A.J. Carpenter. Asymptotics for the zeros of the partial sums of $ e^z $.II. Computational Methods and Function Theory, 1990.
Kriecherbauer T, Kuijlaars A, Mclaughlin K, et al. Locating the zeros of partial sums of exp(z) with Riemann-Hilbert methods[J]. Mathematics, 2008, 458.
Dupuy T, Mclaughlin D T, SZEGO CURVES, STEEPEST DESCENT ANALYSIS AND THE ZERO BEHAVIOR OF PARTIAL SUMS OF THE EXPONENTIAL FUNCTION, 2005.
Buckholtz J D . A Characterization of the Exponential Series[J]. American Mathematical Monthly, 1966, 73(4):121-123.
Peter Walker. The Zeros of the Partial Sums of the Exponential Series.[J]. American Mathematical Monthly, 2003.