【数学基础129】常微分方程：同济高等数学教材相关内容总结（一）
我们从最基础的常微分技巧开始复习，我们优先复习同济版《高等数学》教材。
不得不承认，这本教材还是很优秀的，常规的几种简单点的题型都覆盖到了，数学专业大概多几种类型，并且例题会复杂一些，但是，“天下难事必作于易”，我们对待基础与简单内容的态度，是我们最终解决复杂困难问题时能力的决定因素。
第一部分：微分方程的基本概念——
微分方程——含有一个函数不同阶导数构成的方程，就是微分方程。
常微分方程——一元函数构成的微分方程。
偏微分方程——多元函数关于其中一个自变量的微分方程。
全微分方程——等式左端是一个多元函数的全微分，右端是零的形式。
微分方程的解——一个满足等式的函数。
第二部分：《高等数学》上涉及的是“常微分方程”的十种常见类型——
a.类型一——
直接法——顾名思义，就是说，可以直接用求积分的方式，求出函数。
例题：比如说匀变速直线运动，我们已知加速度a，求距离s和时间t的函数。
解：
a=d^2（s）/d（t^2）=dv/dt
v=at+C1（C1是任意常数）
s=0.5at^2+C1t+C2（C1，C2是任意常数）
——由于C1，C2是任意常数，所以，我们发现，这个微分方程有无数个解，类似这种解叫做常微分方程的通解。
而如果我们预先给出了C1，C2的值，那么求出来的函数被称为特解。
C1，C2被称为初值条件或者初始条件。
数学更关注的是通解构成的集合的性质，可以和线性空间的知识联系起来。
而我们实际的解题往往求的都是特解。
对于这种最简单的微分方程，你会发现，往往一边只含有函数的某一阶的导数，另一边则是一个不含有任何导数，关于自变量的函数，所有这种类型的题目，都可以回归到求解不定积分的内容之下，不定积分的内容，我们迟一些集中复习。
与此同时，我们还要注意，函数分为，显式，隐式，和参数式三种，对于隐函数，我们要多注意——
先要通过隐函数定理去判断是否存在显示，如果存在，转化为显式求解；
如果不存在则可以考虑其他技巧。
b.类型二——
分离变量的方法——顾名思义，就是说，我们可以把所有的含x或者dx的项移到等式一边，把所有y和dy移到另外一边，而且这里面，dx和dy的关系一定是相除的关系dx/dy，dx和含x的式子，dy和含y的式子一定是相乘的形式，然后一起积分就好。
所谓dx指的是关于x的微分，我们运算的时候，可以把它看作一个数直接加减乘除。
比如说，
例题：对微分方程，dy/dx=2xy^2
解：
我们按照上述形式进行改写——dy/y^2=2xdx；
之后两边取积分即可，得到-1/y=x^2+C。
这种类型的题目，依然对不定积分的技巧积累要求比较高，常用的不定积分记得越多越好。
c.类型三——
齐次方程；
注意——
这种类型的微分方程依然是常微分方程中比较特别的类型，有对应的特定的方法；
在常微分方程的课程中，还有一个不同的概念叫做，齐次的一阶线性微分方程（简称“齐次方程”），是在研究一阶线性方程中，比较简单且基础的一种，大多数的数学教材都按照从简单到复杂，从特殊到一般的顺序，所以很快我们就会介绍到，然后就是一大堆常数变易法的公式要背了——千万不要混淆哦！
定义一——形如dy/dx=f（x，y），等式右端的函数f（x，y）为它的变量x和y的零次齐次函数，即满足恒等式f（tx，ty）=f（x，y），则称这个方程为齐次方程。
定义二——如果微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0，满足P（x，y）与Q（x，y）都是x和y的同次齐次函数，则称这个方程为齐次方程
齐次函数——函数P（x，y）满足P（tx，ty）=t^mP（x，y），称P（x，y）为x和y的m次齐次函数。
易证明——
定义一——dy/dx=f（x，y）=f（x*（1/y），y*（1/y））=f（x/y，1）=g（x/y）；
定义二——P（x/y，1）/Q（x/y，1）=P（x*（1/y），y*（1/y））/Q（x*（1/y），y*（1/y））=（1/y）^mP（x，y）/（1/y）^mQ（x，y）=P（x，y）/Q（x，y），
dy/dx=-P（x，y）/Q（x，y）=-P（x/y，1）/Q（x/y，1）=g（x/y）。
定义三——形如dy/dx=g（x/y）的微分方方程为齐次方程。
方法——变量替换法——令y=ux，u=y/x，是一个关于x的函数。
例题：解方程dy/dx=x+y/x-y。
解：
令y=ux，由dy/dx=（x+y）/（x-y）得到d（ux）/dx=（x+ux）/（x-ux）；
由函数乘法求导法则知：u求导为u'=du/dx，x'=1；
则左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u，右式=（x+ux）/（x-ux）=（1+u）/（1-u）；
左式=右式，即x（du/dx）+u=（1+u）/（1-u）——回归到变量分离的类型；
[（1-u）/（1+u^2）]du=（1/x）dx；
两边积分得到，arctan u- ln[（1+u^2）^（1/2）]=ln |x|+C；
将u=y/x代入即可。
本种类型题目难点依然在于积分这一步，常用积分要记在脑子里。这题直接用到的是前面不定积分部分做过题目的结论。
d.类型四——
可化为齐次方程/可分离变量的方程：
我们继续介绍可以使用变量替换法的另一种类型的方程。
我们知道，直接满足齐次方程的条件的方程是极少一部分；但是有些形式的方程，我们可以通过变量的变换，转化为齐次方程或者可分离变量的方程，就可以继续用变量替换法或者分离变量法了，这种类型的方程，我们称之为——可化为齐次/可分离变量的方程。
这一部分的思路和不定积分中将某些本身不是有理函数的函数通过变量替换化为有理函数求积分的思路大同小异。
可化为齐次方程/可分离变量的方程
定理——形如dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的微分方方程在c=c1=0时为齐次方程，当c和c1至少有一个不为0时，可以做相关变换，使其转化为齐次方程，令——
x=X+h，则dx=dX；
y=Y+k，则dy=dY；
1、2中h和k是待定的常数，所以我们要列方程组，解出它们，这部分内容，涉及到了《线性代数》里的克莱姆法则。——我们由这个方程组解的有无，来判定，这种类型的微分方程，转化的方式。
过程——
ax+by+c=a（X+h）+b（Y+k）+c=aX+bY+ah+bk+c，a1x+b1y+c=a1（X+h）+b1（Y+k）+c=a1X+b1Y+a1h+b1k+c；
dY/dX=（aX+bY+ah+bk+c）/（a1X+b1Y+a1h+b1k+c）；
因为2中方程应该满足齐次方程的形式，故而得到方程组ah+bk+c=0且a1h+b1k+c=0；
由克莱姆法则，当行列式ab1-a1b不等于0的时候，方程组有解，我们解出对应的k与h，将原方程转化为dY/dX=（aX+bY）/（a1X+b1Y）即可；
由克莱姆法则，当行列式ab1-a1b=0的时候，则a1/a=b1/b=l，将l代入原方程，得到dy/dx=（ax+by+c）/[l（ax+by）+c1]；
我们令v=ax+by，则dy/dx=（v+c）/（lv+c1）；
又可得dv/dx=a+b（dy/dx），即dy/dx=（dv/dx-a）/b——y是关于x的函数；
则dy/dx=（dv/dx-a）/b=（v+c）/（lv+c1），即dv/[（bv+bc）/（lv+c1）+a]=dx，转化为一个可分离变量的微分方程。
到这里！
