一道高数错题||测地线和梯度真的有关系吗

前段时间，关于一次高数作业中的一道题目，我们和由教授的意见产生了分歧。这是一道关于曲面上求最短路径的题目。(你会不会觉得这个问题出现在高数有点奇怪？)题目大意如下：

已知二元函数，它确定一个曲面，曲面上有两点，求曲面上连接两点曲线的最短路径。

初看“曲面上的最短路径”，我的直觉让我想到两个思路：求题述曲面上的测地线；用变分法求解。“测地线”这个概念出现在我不太了解的微分几何，但是我大概知道测地线是连接两点的总长取极值的曲线。然而并不会微分几何的我对于测地线如何求束手无策。

接下来考虑变分法，这个方法无非暴力一点，还不至于不会：

设题述最短曲线在的投影是曲线，则曲线总长为：

可以证明，当总长取极值时，函数将满足拉格朗日方程：

再看到积分式里面的形式，代入拉格朗日方程再展开，我就知道这大概不是我手算能解决的微分方程了...(下面的是用mathematica化简的结果)

当时觉得肯定有其他简单的解法。回宿舍的路上，与同学讨论，听到一种说法：只要路径在每一点都沿梯度方向，就可以保证最快上升，从而是最短路径。考虑到这题正好是梯度那一节的习题，似乎这正是出题者的意思。事实上，后来教授讲题时也是说的这个解法。

当时仍然感到疑惑，毕竟梯度和测地线好像并没有如此直接的联系。仔细想想，好像说的很有道理，但又感觉哪里不对。至少，先看看每点取梯度会得到什么曲线：

代入边界条件易得. 我们简单用Geogebra在曲面上画一下这条曲线：

这...一看就不像最短路径吧？

当然，物理人必须严谨，让我们证明这个曲线是错误的。打开Mathematica，

输出拉格朗日方程左边的简化形式：

接下来，定义，计算上面表达式的值：

然后点击旁边弹出的“绘图”，你就会看到：

这明显不是0. 这意味着，逐点取梯度这个解连拉格朗日方程都不满足，肯定不是正确答案。

说了这么多，真正的解到底应该是什么？让我们用Mathematica试着解一下前面的拉格朗日方程.把Out[3]那一大串表达式的分子复制出来并令其为0，解微分方程：

这里把y都替换为Y是因为前面已经定义y[x]，会导致变量名冲突而不能正常运行。

可以看到系统直接把我们的输入吐了回来：它根本不会解。看来只能上数值解了，直接把DSolve改为NDSolve：

于是我们终于得到了

虽然一时还看不出这是个什么函数，但至少可以画个三维图看一眼：

这一次确实是正确结果了。

只是，我们仍未知道这个方程到底有没有解析解...

参考文献

[1] 周迈，张阳，由同顺. 高等数学(下册)[M]. 天津：南开大学出版社，2017.2，54.