不自量力 -- 量子隧穿

2021-10-20 13:46 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

量子隧穿是描述粒子穿过在经典力学里不允许穿过的地方的现象.

在经典力学里, 一个能量为 E 的质点是不允许通过势能超过 E 的区域的, 因为在这部分区域内, 质点能量为负值, 这是不允许的.

但在量子力学里, 无论粒子为何值, 都有几率穿过势能大于自身能量的区域.

考虑最简单的"屏障": 方形势垒. 一维方形势垒有两个参数: 势能 U₀ 和势垒宽度 a.

为了便捷, 把坐标原点设为势垒左边界, 则 a 为势垒右边界. 下图展示了势垒的形状

势场可以表达为 $U(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7DU_0%2C%5C%2Cx%5Cin%5B0%2Ca%5D%5C%5C0%2Cotherwise%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ . 定态薛定谔方程为 $-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D%5Cpsi''%2BU%5Cpsi%3DE%5Cpsi$ , 其中 m 是粒子质量, ψ 是描述粒子的波函数, E 是粒子的能量.

为了方便书写, 设 $k_1%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2mE%7D%7D%7B%5Chbar%7D%2Ck_2%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2m(E-U_0)%7D%7D%7B%5Chbar%7D$ , 则定态方程可以写为 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cpsi''%2Bk_1%5E2%5Cpsi%3D0%2C%5C%2Cx%5Cnotin%5B0%2Ca%5D%5C%5C%5Cpsi''%2Bk_2%5E2%5Cpsi%3D0%2C%5C%2Cx%5Cin(0%2Ca)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ , 可以解得 $%5Cpsi(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7DA_1e%5E%7Bik_1x%7D%2BA_2e%5E%7B-ik_1x%7D%2C%5C%2Cx%5Cin(-%5Cinfty%2C0)%5C%5CB_1e%5E%7Bik_2x%7D%2BB_2e%5E%7B-ik_2x%7D%2C%5C%2Cx%5Cin(0%2Ca)%5C%5CC_1e%5E%7Bik_1x%7D%2BC_2e%5E%7B-ik_1x%7D%2Cx%5Cin(a%2C%2B%5Cinfty)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ .

在这里的着重点是粒子如何穿过势垒, 而不是对粒子进行模拟, 所以可以假设粒子从-∞向x正方向传播, 并且粒子在经过势垒左右边界时都会有反射. 观察上面的波函数, 三个表达式左边一项描述粒子从x负向x正传播, 右边一项描述粒子从x正向x负传播, 考虑假设的条件知道 C₂ = 0.

因为波函数必定连续, 把 x = 0, x = a 代入波函数得 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7DA_1%2BA_2%3DB_1%2BB_2%5C%5CB_1e%5E%7Bik_2a%7D%2BB_2e%5E%7B-ik_2a%7D%3DC_1e%5E%7Bik_1a%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ . 在势垒边界的邻域对薛定谔方程积分可以知道 [略], 波函数的导数在势垒边界处也是连续的, 又得 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dk_1(A_1-A_2)%3Dk_2(B_1-B_2)%5C%5Ck_2(B_1e%5E%7Bik_2a%7D-B_2e%5E%7B-ik_2a%7D)%3Dk_1e%5E%7Bik_1a%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ . 现有5个未知系数和4个线性方程, 可以解得 A₂, B₁, B₂, C₁ 与 A₁ 之间的关系: 设 $u%20%3D%20e%5E%7Bik_2a%7D(k_1-k_2)%5E2-e%5E%7B-ik_2a%7D(k_1%2Bk_2)%5E2$ , 则有

$A_2%3D2i%5Csin(k_2a)(k_1%5E2-k_2%5E2)u%5E%7B-1%7DA_1$

$B_1%3D-2e%5E%7B-ik_2a%7Dk_1(k_1%2Bk_2)u%5E%7B-1%7DA_1$

$B_2%3D2e%5E%7Bik_2a%7Dk_1(k_1-k_2)u%5E%7B-1%7DA_1$

$C_1%3D-4e%5E%7B-ik_1a%7Dk_1k_2u%5E%7B-1%7DA_1$

由此可以得到势垒对粒子的反射系数 $R%3D%5Cfrac%7B%7CA_2%7C%5E2%7D%7B%7CA_1%7C%5E2%7D$ 和透射系数 $T%3D%5Cfrac%7B%7CC_1%7C%5E2%7D%7B%7CA_1%7C%5E2%7D$ . 经过稍微计算后得 [mma是好文明] 设 $v%3D%5Cleft(k_1%5E2-k_2%5E2%5Cright)%5E2%5Csin%5E2(k_2a)%2B4k_1%5E2k_2%5E2$ , 则有 $R%3D%5Cleft(k_1%5E2-k_2%5E2%5Cright)%5E2%5Csin%5E2(k_2a)v%5E%7B-1%7D%3B%5C%2CT%3D4k_1%5E2k_2%5E2v%5E%7B-1%7D$ , 不难看到 R + T = 1.

需要注意到当 E ≥ U₀ 时, k₂ 才是实数. 但上述推导并没有假定 E ≥ U₀, 也就是在 E < U₀ 的情况推导也是正确的. 设在 E < U₀ 时, k₂ = i k₃, 这时 k₃ 为实数. 代入上式得到 $v%3D%5Cleft(k_1%5E2%2Bk_3%5E2%5Cright)%5E2%5Csinh%5E2(k_3a)%2B4k_1%5E2k_3%5E2$ 和 $R%3D%5Cleft(k_1%5E2%2Bk_3%5E2%5Cright)%5E2%5Csinh%5E2(k_3a)v%5E%7B-1%7D%3B%5C%3BT%3D4k_1%5E2k_3%5E2v%5E%7B-1%7D$ . 其中 sinh 是双曲正弦函数, 定义为 $%5Csinh(x)%3D0.5(e%5Ex-e%5E%7B-x%7D)$ .