【趣味数学题】平方数之和

2021-07-10 18:39 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛 (Tao Steven Zheng) 著

阿基米德（Archimedes of Syracuse ，公元前 287 年 – 公元前 212 年）在《螺旋线》推导出计算连续平方数之和的公式。图 1 显示了阿基米德用来代表

$1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B4%5E2%2B5%5E2$

的几何解法。阿基米德推导出这个公式

$%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20k%5E2%20%3D%5Cfrac%7Bn(n%2B1)(2n%2B1)%7D%7B6%7D$

用现代代数方法来解释阿基米德对连续平方数之和的证明。

图 1 显示了方程式

$3(1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B%E2%8B%AF%2Bn%5E2%20)%3Dn%5E2%20(n%2B1)%2B(1%2B2%2B3%2B%E2%8B%AF%2Bn)$

因为

$1%2B2%2B3%2B%E2%8B%AF%2Bn%3D%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%7D%7B2%7D$

由此可得

$3(1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B%E2%8B%AF%2Bn%5E2%20)%3Dn%5E2%20(n%2B1)%2B%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%7D%7B2%7D$

$3(1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B%E2%8B%AF%2Bn%5E2%20)%3Dn(n%2B1)(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)$

$1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B%E2%8B%AF%2Bn%5E2%3D%5Cfrac%7Bn(n%2B1)(2n%2B1)%7D%7B6%7D$

因此，

$%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20k%5E2%20%3D%5Cfrac%7Bn(n%2B1)(2n%2B1)%7D%7B6%7D$

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