就 一网友 所问 之解析
题3.
(1)
设
α→0
有
sin2α+sin2β+sin2γ
→
sin2β+sin(2π-2β)
=
sin2β-sin2β
=
0
=
t1
据
α+β+γ=π
且
α，β，γ∈(0，π)
有
2cos2α
=
2cos2β
=
2cos2γ
即
α=β=γ=π/3
时
sin2α+sin2β+sin2γ
得可能最值
3√3/2
且
3√3/2＞t1
即
得最大值
3√3/2
即
sin2α+sin2β+sin2γ＞0
设
α→0
有
sinα+sinβ+sinγ-sin2α-sin2β-sin2γ
→
sinβ+sin(π-β)-sin2β-sin(2π-2β)
=
2sinβ
=
t2
∈
(0，2]
据
α+β+γ=π
且
α，β，γ∈(0，π)
有
cosα-2cos2α
=
cosβ-2cos2β
=
cosγ-2cos2γ
即
α=β=γ=π/3
或
cosα=cosγ=(1+√7)/4
cosβ=-√7/4
时
sinα+sinβ+sinγ-sin2α-sin2β-sin2γ
分别得可能最值
0
与
(7√7-10)/8
且
0＜(7√7-10)/8＜t2max
即
得最小值
0
即
sinα+sinβ+sinγ-sin2α-sin2β-sin2γ≥0
即
sinα+sinβ+sinγ≥sin2α+sin2β+sin2γ
综
0＜sin2α+sin2β+sin2γ≤sinα+sinβ+sinγ
得证
(2)
设
α，β，γ
所对边分别为
a，b，c
据
tanα+tanβ=2sin³γ/(sinαsinβ)
有
1/(cosαcosβ)
=2sin²γ/(sinαsinβ)
即
4abc²/((b²+c²-a²)(a²+c²-b²))
=2c²/(ab)
即
2a²b²/((b²+c²-a²)(a²+c²-b²))=1
设
a²=A b²=B c²=C
有
2AB/((B+C-A)(A+C-B))=1
即
C²-(A-B)²=2AB
即
A²+B²-C²=0
即
1/(2√(AC))
/
(2A)
=
1/(2√(AC))
/
(2B)
=
-(√A+√B)/(2C√C)
/
(-2C)
即
1/(4A√(AC))
=
1/(4B√(AC))
=
(√A+√B)/(4C²√C)
即
A=B=√2/2C
时
(√A+√B)/√C
即
(a+b)/c
即
(sinα+sinβ)/sinγ
得最大值
2^(3/4)
题4.
据
sin(B-C)≥2bcosC/a-1
有
sin(B-C)sin(B+C)
≥2sinBcosC-sinA
=sinBcosC-cosBsinC
=sin(B-C)
即
sinA≥1
即
A=π/2
即
(√13b+√5c)/a
=√13sinB+√5sinC
=√13sinB+√5cosB
=3√2sin(B+φ)
≤3√2
ps.
未见答案
仅供参考
