逼近法乃是微积分的基石

牛顿261、逼近法乃是微积分的基石

 

2019-11-26 10:31，网友“钥匙玩校”发表一篇名为《穷竭法的首创者——欧多克索斯》的文章。

…穷、竭、穷竭，法，穷竭法：见《牛顿245》…

…欧多克索斯：见《牛顿251~259》…

文章内容：…

 

由于发现的无理数越来越多，使得希腊人被迫面对它们。

…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

 

当时只有在几何学的讨论中，无理数才会出现，而正整数及其比值在几何学及一般关于量的讨论中屡见不鲜，使得人们怀疑无理数是否为真正的数？

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…学：见《欧几里得4》…

…数：见《欧几里得15》…

…量：见《欧几里得27》…

 

尤其甚者，一些涉及长度、面积、体积为有理数的证明，要如何拓展到无理数呢？

…长：见《牛顿260》…

…度：见《欧几里得24》…

…长度（百度百科）：是一维空间的度量，为点到点的距离…

（…距、离、距离：见《牛顿147》…）

…长度（百度汉语）2：两点之间的距离…

…面：见《欧几里得118》…

…积：见《牛顿19》…

…面积（百度百科）：当物体占据的空间是二维空间时，所占空间的大小叫做该物体的面积。

[…空、间、空间：见《伽利略10》…

（…《伽利略》：小说名…）]

面积可以是平面的也可以是曲面的。

平方米，平方分米，平方厘米，是公认的面积单位，用字母可以表示为（m²，dm²，cm²）。

 

面积是表示平面中二维图形 或形状 或平面层的程度 的数量。

（…形、状、形状：见《欧几里得23》…）

表面积是三维物体的二维表面上的模拟物。

（…物、体、物体：见《伽利略9》…）

面积可以理解为具有给定厚度的材料的量，面积是形成形状的模型所必需的…

 

…面积（百度汉语）2：平面或物体表面的大小：土地～。建筑～…

…体、体积：见《牛顿253》…

…有、理、有理、有理数：见《欧几里得25》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

欧多克索斯介绍了量的观念，它并非数，却能代表诸如线段、角、面积、体积、时间等等这些能作连续变化的东西。

…时、间、时间：见《伽利略10》…

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

…变、化、变化：见《伽利略10》…

 

其次，欧多克索斯定义量的比及比例，这种比例是两个比的一个等式，可以含盖可公度量（相当于有理量）和不可公度量（相当于无理量）之比。

…比、例、比例：见《欧几里得29》…

…公、度、公度：见《欧几里得24》…

…不可公度：见《欧几里得24》…

 

然而同样地，也不使用数字来表示这种比。

比和比例的观念紧密地与几何连在一起。

 

欧多克索斯的成就在于 尽量避免赋予数值给 线段长、角之大小、其他的量、以及量的比，而可以回避过无理数。

欧多克索斯这样的理论，提供无理数所必需的逻辑基础，使得希腊数学家们在几何方面获得突破性的进展。

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

…基、础、基础：见《欧几里得37》…

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…

不过也因此使得数目和几何学分家，因为只有几何才能处理无理数。

这样的结果将数学家局限为几何学家，使几何学几乎成为所有严密数学的基础达两百年之久。

…严、密、严密：见《欧几里得53》…

 

除此之外，希腊人利用现在的穷竭法（逼近法），来计算曲线形或曲面体的面积或体积的念头，也是由欧多克索斯引起的。

借着逼近法，欧多克索斯证明了：两圆面积之比等于半径平方之比；

球体的体积比等于半径的立方比；

角锥、圆锥体积为同底等高柱体的三分之一。

另外我们要注意的是，逼近法乃是微积分的基石，因此也有人说他是微积分的开山祖师。

 

“毕达哥拉斯学派发现了不可通约数（无理数）√2，这破坏了他们的比例论。

请看下集《牛顿262、毕达哥拉斯学派的比例论，欧多克索斯的比例论》”

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