【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep12】美妙的无限视界
大家好，喜欢数学的学酥老碧又来跟您瞎侃这本详实丰富有趣的名著了，每天五分钟，数学更轻松！——没错，我说我的。
我们上一期末尾，介绍了一个精致的小命题：
（每次文章的前半部分都是在回溯之前的内容，以防止第一次点进来的宝宝一脸懵逼，旧内容用红字，新内容用紫字以示区分）
“从“极限”的观点定义“相等”
在此之后，书上引入了一个新颖的牛逼的有趣的非凡的小命题，当然也是一个极其有用的小命题，便是：
这条命题提出了一种全新的对“相等”的定义方式：意思是说，如果一对实数a，b始终比有理数s大，比有理数s'小，而s与s‘的距离是可以“无限接近的”（无限接近的定义：对任意实数e，e>s’-s），那么a=b。
（就好像是被两篇面包死死夹住的生菜和肉饼，不断地夹，夹成了一片要多薄有多薄的肉片。——没错，老碧饿了。）
书中用反证法：假如a>b——
由实数的稠密性，存在有理数r，使得a>r>b，同理，存在有理数r'，使得a>r'>r，即a>r'>r>b；
r'>r，由不等式运算性质，两边同时减去r，则r'-r>0，令e1=r'-r；
由命题，s‘>a>b>s，结合2，s'-s>a-b>r'-r=e1（导出矛盾）
因为命题要求，任意的（所有的）实数e，e>s'-s，但是如果a不等于b，则会存在一个是e1，使得s'-s>e1，所以在任何情况下，a与b不相等的情况都不成立，即a=b。
说明：
1.“任意”在逻辑里叫“全称量词”，就是对于所有情况下的一个评价，是一个很严格的说法，比如说，老碧读的任意一本书都没读懂，意思即是，我读懂的书为0；
2.因为“任意”是很严格的说法， 所以它的对立面就很简单，只要存在一个不成立，即可推翻，所以很容易想到用“反证法”，“任意”的反面是“存在”，比如，说明一里的例句的对立就是：还是存在那么一本书，老碧读懂了的，意思是，老碧虽然学习不咋地，但是也读懂过至少一本书；
3.用极限的思想去定义“等于”是有些“反直觉”的，可以先接受这种思想再说，然后，明天老碧会拿一个例子继续说明。”
今天我们就来聊聊，这个例子，还记得我们介绍过无理数的最常用的定义方法之一吗？
“将所有数都表达成无限小数的形式，如果是3.5，就记作3.500000……或者3.499999……，那么就将数分为两种，无限循环与无限不循环小数，由此导出无理数的定义“无限不循环小数”；
注：
1.是不是与“排中律”形式十分统一？（是A的元素/不是A的元素）
2.为什么3.50000……=3.49999……？（我们之后会详细证明）”
今天我们就来用上面的小命题来验证2。
首先我们知道3.50000……与3.49999……一定位于3.50000……1（k个0，k为自然数）与3.49999……9（k+1个9，k为自然数），显然后两个数是有穷小数，即有理数；
我们把k从0开始依次取遍自然数的所有值，然后和3.50000……与3.49999……比较，我们会发现3.50000……1（k个0，k为自然数）>3.50000……>3.49999……>3.49999……9（k+1个9，k为自然数）始终成立；
把步骤2无限进行下去，我们会发现，对于任意的e
情形一：e大于0.02的情况对任意k成立，e>3.50000……1（k个0，k为自然数）-3.49999……9（k+1个9，k为自然数））；
情形二：e小0.02，且e第一个非零数出现的数位记成小数点后第j位，比如小数，0.004，第一个非零数是4，出现在小数点后第三位，所以j=3，那么我们只有取k=j，上面那个不等式也会成立；
（注：因为我们只要找到其中一种取值方式，使不等式成立即可，至于k要不要取到临界值，不影响这道题的结论，所以没必要那么麻烦，这就是所谓的“定性式证明”。数列极限证明中都是这个思想。）
综合情形一二，我们得出来对于任意的e，总存在k，使得e>3.50000……1（k个0，k为自然数）-3.49999……9（k+1个9，k为自然数））；
再结合上面介绍的命题，我们就得出了，3.50000……=3.49999……的结论。
注：这道题还有一个算术的方法，原理是把无限循环小数变成分数——
例如无限循环小数a=3.212121……，我们发现100a=321.212121……和a的小数部分一模一样，这就是无穷的意义，无论常以多少多少次十倍，后面循环的数都不会减少，如果无穷能够因为有限的取用而耗竭，就不是无穷了。
然后我们想到，把小尾巴消除掉：100a-a=99a=318，那么a=318/99=106/33。
同理，对b=3.4999……，10b-b=9b=31.5，b=31.5/9=3.5，得证。
今天就先说到这里，明天聊聊书上是如何引入无穷小数的，不见不散！
