挺有用的常微分方程（二）

2023-03-04 14:11 作者:不能吃的大鱼 0人读过 | 我要投稿

介绍完常微分方程的基本概况之后，我们就要开始正式研究常微分方程的各种内容了。首要的，作为一种方程，我们肯定十分关心它的解法。对于一些基本的简单方程，自然是十分容易解出来的。当我们面临复杂的微分方程的时候，我们就要考虑寻求其他的特殊解法，或者去考虑，如何只基于方程本身而不是去解开它来探讨函数与系统的性质。当我们了解到了基本的解法之后，我们就可以进一步研究解的各种性质，比如唯一性及其表示法等等。并且，进一步地，我们其实还是要考虑，是否任意的方程都能够有不平凡的解。这与我们在数学分析部分思考与讨论问题的思路与过程是一样的。

所以，我们先来看一看，对于简单的微分方程，它的初等解法有哪些。

Chapter Two 一阶微分方程的初等解法

2.1 变量分离方程与变量变换

2.1.1 变量分离方程

所谓变量分离方程，就是形如：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3Df(x)g(y)$

的方程。对于具有这样形式的方程，我们可以做变形：

$f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7Bg(y)%7D%20$

因此，就有：

$%5Ctext%20d%5Cbigg(%5Cint%20f(x)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%3D%5Ctext%20d%5Cbigg(%5Cint%20%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7Bg(y)%7D%20%5Cbigg)$

于是就得到了：

$%5Cint%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cint%20%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7Bg(y)%7D%20$

在这里，我们利用这样的方程简要阐述一下解微分方程的基本原理。实际上，我们有两种想法。我们都知道，想要解出微分方程，基本思路就是利用微积分之间的关系。但是，在微积分学当中，我们有两对基本的互逆关系——求导与求原函数，求微分与求积分。如果我们将做第一次变形之后得到的等式看做是微分之间的等价关系，于是，我们就可以利用第二对互逆关系，得到微分方程的解。而如果我们考虑到微分表达式中微分元素前函数的实际意义（原函数的导数），那么我们也可以直接去求解原函数。可以看到，这两种想法的结果是一致的。

于是，我们就能明白，解微分方程的核心，实际上就是求解对应微分元素的原函数。至于表达方式如何，只要能够合理地表达出正确的解关系，我们并不是很在意表达形式本身。事实上，如果得到的是不定积分，那么我们需要在等号某一侧加上一个任意常数；而如果是定积分，实际上也就是一个变上限积分，当初值不确定的时候，我们只不过是给出了不定积分表达方法中的任意常数的具体表达式罢了。

回到变量分离方程的求解上来，我们继续讨论问题。我们上面的解法实际上没有考虑到一种特殊的情况：

$%5Cexists%20y_0%EF%BC%8Cg(y_0)%3D0$

这样，我们就能知道，特殊的解：

$y%3Dy_0$

也是方程的合理的解。当通解并不包含这一解的时候，我们就要将这一种情况加上去。

2.1.2 可化为变量分离方程的类型

有一些方程，形式上并不直接是变量分离方程，但是我们可以通过一些初等变换，改变函数的变量，使得方程关于新的变量是变量分离方程。比如说：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%3D%5Cfrac%7Ba_1x%2Bb_1y%2Bc_1%7D%7Ba_2x%2Bb_2y%2Bc_2%7D%5Cquad(%5Cfrac%7Ba_1%7D%7Ba_2%7D%E2%89%A0%5Cfrac%7Bb_1%7D%7Bb_2%7D)$

我们先考虑它的退化情形：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%3D%5Cfrac%7Ba_1x%2Bb_1y%7D%7Ba_2x%2Bb_2y%7D%5Cquad(%5Cfrac%7Ba_1%7D%7Ba_2%7D%E2%89%A0%5Cfrac%7Bb_1%7D%7Bb_2%7D)$

此时，我们可以做变形：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%3D%5Cfrac%7Ba_1%2Bb_1%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%20%7D%7Ba_2%2Bb_2%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%20%7D%5Cquad(%5Cfrac%7Ba_1%7D%7Ba_2%7D%E2%89%A0%5Cfrac%7Bb_1%7D%7Bb_2%7D)$

若令：

$t%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D$

则有：

$%5Ctext%20dt%3D%5Ctext%20d%5Cbigg(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%20%5Cbigg)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%5Ctext%20dy-%5Cfrac%7By%7D%7Bx%5E2%7D%20%5Ctext%20dx$

于是：

$x%5Cfrac%7B%5Ctext%20dt%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20-t$

代回原方程，我们就得到了新的微分方程，这是一个变量分离方程：

$t%2Bx%5Cfrac%7B%5Ctext%20dt%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D%5Cfrac%7Ba_1%2Bb_1t%7D%7Ba_2%2Bb_2t%7D%20%5CRightarrow%20%5Cfrac%7B%5Ctext%20dt%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%5Cbigg(%5Cfrac%7Ba_1%2Bb_1t%7D%7Ba_2%2Bb_2t%7D-t%5Cbigg)%20$

上面的讨论实际上对于任何形如：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D%5Cvarphi%20(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%20)$

的方程都适合。最后化成的变量分离方程的一般表达式为：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dt%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cvarphi%20(t)-t%7D%7Bx%7D%20$

我们是可以证明这一点的，因此我们就不再多赘述了。

现在回到最初的问题。在我们设定的条件下，我们可以先做变换：

$%5Cfrac%7Ba_1x%2Bb_1y%2Bc_1%7D%7Ba_2x%2Bb_2y%2Bc_2%7D%20%3D%5Cfrac%7Ba_1(x-%5Calpha_1)%2Bb_1(y-%5Cbeta_1)%7D%7Ba_2(x-%5Calpha_2)%2Bb_2(y-%5Cbeta_2)%7D%20%3D%5Cfrac%7Ba_1X%2Bb_1Y%7D%7Ba_2X%2Bb_2Y%7D%20$

又：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Ctext%20dY%7D%7B%5Ctext%20dX%7D%20$

于是这个微分方程就变成了关于新的变量的可变为变量分离方程的方程。

接下来我们要研究的，就是相对特殊一点的情况：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%3D%5Cfrac%7Ba_1x%2Bb_1y%2Bc_1%7D%7Ba_2x%2Bb_2y%2Bc_2%7D%5Cquad%20%5Cbigg(%5Cbegin%20%7Bvmatrix%7D%20a_1%26b_1%5C%5Ca_2%26b_2%5Cend%20%7Bvmatrix%7D%3D0%5Cbigg)$

这一情况的讨论就留给大家讨论吧~

（讨论1）

为了让大家讨论起来更容易一些，我们介绍一下第三类可化为变量分离方程的类型：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D%5Cvarphi%20(ax%2Bby%2Bc)$

显然，我们令：

$t%3Dax%2Bby%2Bc$

此时，有：

$%5Ctext%20dt%3Da%5Ctext%20dx%2Bb%5Ctext%20dy$

于是，就有：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dt%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%3Da%2Bb%20%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20$

代回，就得到：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dt%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3Da%2Bb%5Cvarphi%20(t)$

Chapter Two 一阶微分方程的初等解法

2.2 线性微分方程与常数变易法

在变量分离方程的讨论基础之上，我们进一步来讨论一种特殊的方程——线性微分方程。

在变量分离方程当中，如果我们令：

$g(y)%3Dy$

我们就得到：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3Df(x)y$

我们在上一篇专栏中提到过，这是一个一阶线性微分方程。其实，我们可以将其拓宽为：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3DP(x)y%2BQ(x)$

我们称这一微分方程为一阶非齐次线性微分方程。对应地，上一个方程称为一阶齐次线性微分方程。

一阶齐次线性微分方程的解法是显然的，因为它实际上就是一个变量分离方程。我们主要着重讨论一阶非齐次线性微分方程的解法——常数变易法。

我们知道，一阶齐次线性微分方程的通解表达为：

$y%3Dce%5E%7B%5Cint%20P(x)%5Ctext%20dx%7D$

我们想要讨论一阶非齐次线性微分方程，一个很自然的想法就是在这一通解之上做一些形式上的简单变化，并期待变化后的形式能够很好的符合对应的一阶非齐次线性方程。

如何变化呢？我们唯一能改变的，就是参数的形式。所以，我们不妨让非齐次方程的通解表达为：

$y%3Dc(x)e%5E%7B%5Cint%20P(x)%5Ctext%20dx%7D$

于是，我们就得到了：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3Dc'(x)e%5E%7B%5Cint%20P(x)%5Ctext%20dx%7D%2Bc(x)P(x)e%5E%7B%5Cint%20P(x)%5Ctext%20dx%7D%3Dc'(x)%5E%7B%5Cint%20P(x)%5Ctext%20dx%7D%2BP(x)y$

进而，我们得到了：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dc%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%3D%20e%5E%7B-%5Cint%20P(x)%5Ctext%20dx%7DQ(x)$

这是一个变量分离方程，很自然地，我们就解出了这一非齐次方程的通解：

$y%3D%5Cbigg(%5Cint%20Q(x)e%5E%7B-%5Cint%20P(x)%5Ctext%20dx%7D%5Ctext%20dx%20%2Bc%5Cbigg)e%5E%7B%5Cint%20P(x)%5Ctext%20dx%7D$

这种假定积分常数也为对变量的函数的方法，实际上是一种常用的方法。对于一些特殊的方程，也许它未必是线性方程，但是可以尝试一下。（可能不成功。）

我们称这种改变积分常数的方法，称为常数变易法。

Chapter Two 一阶微分方程的初等解法

2.3 恰当微分方程与积分因子

2.3.1 恰当微分方程

我们现在来考虑形式更为一般的方程。设若微分方程表达为：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3Df(x%2Cy)$

我们将其变形，得到：

$f(x%2Cy)%5Ctext%20dx-%5Ctext%20dy%3D0$

如果我们将 $f(x%2Cy)$ 和“-1”分别看做是某一二元函数关于x和y的偏导数，那么这其实就是一个全微分形式的等式，等号左侧是一个方程的全微分，而右侧是一个常数。换句话说，如果这样的方程有解，那么它的解的形式应该有：

$F(x%2Cy)%3DC$

更一般地，我们考虑方程：

$M(x%2Cy)%5Ctext%20dx%2BN(x%2Cy)%5Ctext%20dy%3D0$

此时，我们假设微分元素前的函数有某一矩形区域内的一阶连续偏导数。

那么，很容易得到，这两个函数应该满足：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20F%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3DM(x%2Cy)%EF%BC%8C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20F%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3DN(x%2Cy)$

于是，我们就称这一方程为恰当微分方程，因为左侧的微分表达式恰应该是某一二元函数的全微分。

基于我们的假设，我们知道：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2F%7D%7B%5Cpartial%20x%5Cpartial%20y%7D%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20M%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20N%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20F%7D%7B%5Cpartial%20y%5Cpartial%20x%7D%20$

这是利用了二阶混合偏导数与次序无关的结论，我们在数学分析部分已经介绍过了。

我们现在就要想，如何利用这一结论来求解微分方程。

这个时候，我们就要改变一下我们的思路。我们可以将二元函数看做是其他的形式，比如含参变量函数，从而通过讨论主元等方式来解决这一问题。

比如说，我们令x为主元，而y为参数，于是，我们对任意一个函数积分，就有：

$%5Cint%20M(x%2Cy)%5Ctext%20dx%2B%5Cvarphi%20(y)%3Du(x%2Cy)$

此时，考虑到我们的假设，就可以得到：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cint%20M(x%2Cy)%5Ctext%20dx%2B%5Cfrac%7B%5Ctext%20d%5Cvarphi%20(y)%7D%7B%5Ctext%20dy%7D%20%3DN(x%2Cy)$

即：

$-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cint%20M(x%2Cy)%5Ctext%20dx%2BN(x%2Cy)%3D%5Cfrac%7B%5Ctext%20d%5Cvarphi%20(y)%7D%7B%5Ctext%20dy%7D%20$

等号右侧只是一个关于y的函数，因此等号左侧也应该与x无关。即：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%5Cbigg(-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cint%20M(x%2Cy)%5Ctext%20dx%2BN(x%2Cy)%5Cbigg)%3D0$

（命题1，只要验证满足一些条件，可以交换求偏导次序即可。）

这样，我们就能得到：

$%5Cvarphi%20(y)%3D%5Cint%20%5Cbigg(-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cint%20M(x%2Cy)%5Ctext%20dx%2BN(x%2Cy)%5Cbigg)%5Ctext%20dy$

于是，微分方程的解为：

$u(x%2Cy)%3D%5Cint%20M(x%2Cy)%5Ctext%20dx%2B%5Cint%20%5Cbigg(-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cint%20M(x%2Cy)%5Ctext%20dx%2BN(x%2Cy)%5Cbigg)%5Ctext%20dy$

类似的讨论对于以y为主元也是成立的。

（讨论2）

现在，我们继续研究这个形式的方程。如果我们改变一下函数的标记字母，即：

$P(x%2Cy)%5Ctext%20dx%2BQ(x%2Cy)%5Ctext%20dy%3D0$

左侧的表达形式就能够让我们想到第二型曲线积分。这启示我们，或许曲线积分的知识也可以帮助我们来求解这种形式的微分方程。

我们当然期望使用曲线积分的时候积分路径能够好一点。一方面，路径不想要太复杂，能够便于我们去积分求解；另一方面，路径本身具有通用性，能够对几乎所有满足这样条件的微分方程的都适用。一般而言，我们都是选择一条折线路径：

$(x_0%2Cy_0)%5Crightarrow%20(x%2Cy_0)%5Crightarrow%20(x%2Cy)$

但是，是否我们选取的路径真的适合用来求解微分方程，以及求出的结果是否真的是微分方程的解，这是我们现在需要考证的。

如果路径的选取本身并不影响曲线积分的结果，那么我们自然无需关注路径的选取方式，只需要考虑便利性即可。回忆一下我们在数学分析部分介绍过的曲线积分与路径无关的条件，我们不难发现，我们对微分元素前的函数的限定恰好符合四个条件的其中之一。于是，我们直接可以得到：

$C%3D%5Cint%20_%7B(x_0%2Cy_0)%7D%5E%7B(x%2Cy)%7D%20M(x%2Cy)%5Ctext%20dx%2BN(x%2Cy)%5Ctext%20dy%3D%5Cint_%7Bx_0%7D%5ExM(x%2Cy_0)%5Ctext%20dx%2B%5Cint_%7By_0%7D%5EyN(x%2Cy)%5Ctext%20dy$

是方程的解。

当然，我们还有其他路径可以选取，这就留给大家自己去研究吧~

2.3.2 积分因子

不过，很多时候，即使微分方程具有这样的形式，但是也不一定满足我们所限定的偏微分条件。因此，它就不是一个恰当微分方程。这个时候，我们就没有办法直接使用我们上面讨论出的解法。这个时候，和变量分离方程的讨论类似，我们可以通过一些变换，使之称为恰当微分方程。

由于方程右侧是0，因此在方程左侧乘以任何因式，都不会改变方程的核心及其解的情况。这就成为了我们寻求问题突破口的关键。这样，我们就可以寻求一个函数 $%5Cmu(x%2Cy)$ ，使之能够做到：

$%5Cmu(x%2Cy)M(x%2Cy)%5Ctext%20dx%2B%5Cmu(x%2Cy)N(x%2Cy)%5Ctext%20dy%3D0$

是恰当微分方程。也就是说：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20(%5Cmu(x%2Cy)M(x%2Cy))%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20(%5Cmu(x%2Cy)N(x.y))$

即：

$N%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20x%7D-M%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D%5Cbigg(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20M%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20N%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cbigg)%5Cmu$

一般而言，这一方程是一个偏微分方程，它的求解甚至会比原本的方程的求解更为复杂。因此，我们需要寻求一些特殊条件的解。毕竟，积分因子并不唯一，只要合理并且能够达成我们的目的就可以。

比如说，我们可以认为积分因子并不含有变量y，而只与变量x相关。这样，上面这个方程就化简为：

$N%5Cfrac%7B%5Ctext%20d%5Cmu%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%3D%20%5Cbigg(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20M%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20N%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%5Cbigg)%5Cmu$

从这里，我们发现。如果积分因子只与x相关，就必须要满足：

$%5Cfrac%7B%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B%5Cpartial%20M%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-%20%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B%5Cpartial%20N%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%7D%7BN%7D%20%3D%5Cpsi(x)$

是一个与y无关的函数。这样，我们就将一种特殊的积分因子求出来了：

$%5Cmu%3De%5E%7B%5Cint%20%5Cpsi(x)%5Ctext%20dx%7D$

当然，只与y相关的积分因子的求解也类似。

Chapter Two 一阶微分方程的初等解法

2.4 一阶隐式微分方程与参数表示

我们前面讨论的方程，基本都是可以将导数与原函数和自变量分离出来的，是一个显式微分方程（能够表达成“导数=不含导数的函数”的形式的方程）。但是，我们很多时候也会面临很多没办法显化的微分方程，即方程只能一般表达成：

$F(x%2Cy%2Cy')%3D0$

我们现在就要就几种简单的情况来讨论一下如何处理这种隐式微分方程。

2.4.1 可以解出y（或x）的方程

我们以：

$y%3Df(x%2Cy')$

为例，来表示出这类问题的基本思想。

我们令：

$u%3Dy'$

于是就有：

$y%3Df(x%2Cu)%5CRightarrow%20%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%3Du%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%20%20%5Cfrac%7B%5Ctext%20du%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20$

这是一个关于x与u的一阶显式微分方程，利用前面几节的方法可以解出u。再将解出的u代回原方程，就得到了：

$y%3Df(x%2Cu(x))$

如果得到的是一个隐式解，那么原方程的解就是由原方程和解方程构成的方程组。

对于可以解出x的方程，留给大家来讨论~

（讨论3）

2.4.2 不显含y（或x）的方程

我们仍然以其中一种为例，另一种留给大家讨论。

实际上，这样的方程表达出来就是：

$F(x%2Cy')%3D0$

这可以理解为关于x与y'的在Oxy'平面上的曲线方程。那么，如果我们能将曲线化为参数表示：

$x%3D%5Cvarphi%20(t)%EF%BC%8Cy'%3D%5Cpsi%20(t)$

则我们能得到：

$%5Ctext%20dy%3D%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%5Ctext%20dx%3D%5Cpsi(t)%5Cvarphi'(t)%5Ctext%20dt$

这样，我们就能够将y关于t的参数表示积分求解出来，而x关于t的参数表达式已经给定的了，那么我们就得到了方程完整的解。

那么，方程中不显含x的情况，就留给大家讨论吧~

（讨论4）

那么，有关一阶微分方程的初等解法，我们就讨论到这里了。基本上，我们已经将全部内容介绍完了，剩下的内容就有待小伙伴们自己去探索啦！

思考：

完成讨论1~4；
解下列微分方程：

（1）

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D2xy$

（2）

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D%5Cfrac%7B1%2By%5E2%7D%7Bxy%2Bx%5E3y%7D%20$

（3）

$(1%2Bx)y%5Ctext%20dx%2B(1-y)x%5Ctext%20dy%3D0$

（4）

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D%5Cfrac%7B2x%5E3%2B3xy%5E2%2Bx%7D%7B3x%5E2y%2B2y%5E3-y%7D%20$

（5）

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D(x%2B1)%5E2%2B(4y%2B1)%5E28xy%2B1$

（6）

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D%20y%2B%5Csin%20x$

（7）

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%2B3y%3D%20e%5E%7B2x%7D$

（8）

$x%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%2By%3Dx%5E3%20$

（9）

$2x(ye%5E%7Bx%5E2%7D-1)%5Ctext%20dx%2Be%5E%7Bx%5E2%7D%5Ctext%20dy%3D0$

（10）

$(y%5Ccos%20x-x%5Csin%20x)%5Ctext%20dx%2B(y%5Csin%20x%2Bx%5Ccos%20x)%5Ctext%20dy%3D0$

（11）

$x(4y%5Ctext%20dx%2B2x%5Ctext%20dy)%2By%5E3(3y%5Ctext%20dx%2B5x%5Ctext%20dy)%3D0$

（12）

$y%5E2(y'-1)%3D(2-y')%5E2$
求出Bernoulli方程：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20dy%7D%7B%5Ctext%20dx%7D%20%3D%20P(x)y%2BQ(x)y%5En%5Cquad(n%E2%89%A00%2C1%EF%BC%8Cn%5Cin%20%5Cmathbf%20R)$

的通解；
证明下列性质：

（1）一阶非齐次线性微分方程的任意两个解之差为相对应的齐次方程的解；

（2）一阶齐次线性方程的某一解的常数倍与任意两个解的和（或差）仍是该齐次方程的解；