数学趣题（3）

判断下面级数的敛散性

解：令y（x）=x^(1/x)，

则㏑y=(1/x)㏑x;

等号两边分别对x求导，的（1/y）*(dy/dx)=（1-㏑x）*(x^(1/x-2))

∴dy/dx=y*（1-㏑x）*(x^(1/x-2))=x^(1/x)*（1-㏑x）*(x^(1/x-2))

显然y（x）在（0，e）上单调递增，在（e,+∞）上单调递减，又∵√2=y（2）<y（3）=³√3∴∀n∈N,n^(1/n)≤³√3

∴1/（n*（n^（1/n）））≤（1/n）*（1/³√3）

又∵调和级数∑（1/n）发散，由比较原则，可得原级数发散