《虚数不虚》第三节：破解虚数（上）

我们上次讲到了卡丹(Cardan)和他的求根公式。卡丹知道这个问题一定有解，但却对出现在根号内的负数无动于衷。他几乎要成功了，但还是陷入了一个死循环，他的一切尝试还是无果。直到一个世纪后，这个问题终于被他的学生庞贝里(Rafael Bombelli)向前推进了一步。

庞贝里所做的第一步，是接受√(-1)是独立于正负数外的存在。接下来他很自然地会想，该如何称呼它?庞贝里的想法倒也实际，与其发明一个新名字或符号，不如直接保留原样。这在当时，数学家们一定会大力反对的。但庞贝利还是坚持了他的想法，并迈出了正确的一步。

让我们从几个例子来认识√(-1)，虽然它由我们已知的数字和符号组成，它却拥有一个新特性——√(-1)*√(-1)=-1。进一步看，因为它是独立于数轴外的存在，所以必大有内涵。如果你觉得这很难理解，没关系。我们如果不先把虚数以一项新发明的形式介绍给初学者，他们会觉得一头雾水。在我们揭开√(-1)的神秘面纱前，让我们回顾一下卡丹的困境。

庞贝里并没有根号下的复数被难住，他的先见在于——如果我们拓展既有的数字，如同人类把自然数拓展到分数、负数、乃至全体实数，或许问题就会有解。因此，如果我们要接纳√(-1)，那么它应该遵循我们已知的运算规则，这是最重要的。

对于两个非负数a、b，我们有√(ab)=√(a)√(b)，如果我们把a、b拓展到负数，等式也应当成立，比如：√(-25)=√(25)√(-1)=5√(-1)。这个过程很重要，因为它把√(-1)提取出来，使得根号下的任意负数可以写成√(a)√(-1)的形式。

让我们再快速验证一下√(-1)是否遵循已有的运算规则。首先，√(-1)遵循同项相加，系数相加的规则，也就是√(-1)+√(-1)=2√(-1)。其次，√(-1)与不同项相加，保留原样，没有2+√(-1)=2√(-1)这样的等式。最后，√(-1)遵循乘法规则，比如5*√(-1)=5√(-1)。

虽然这一切帮助了我们简化了卡丹的难题，但离解决还差一步。我们还需要知道如何对2+11√(-1)和2-11√(-1)这两个数字开立方根。而庞贝利如何再度找到灵感，破解难题，我们下集继续。

拓展阅读

在卡丹的数学著作《Ars Magna》中，有这么一个问题：

找出两个满足如下性质的数x、y，使得：

① 两者之和等于10 、② 两者之积等于40。

如今，我们可以很轻易地解出x、y分别为5+√(-15)和 5-√(-15)。

然而，卡丹称这个结果是显然不可能的结果“manifestly impossible”。可是他还是把结果写了上去。有趣的是，尽管卡丹公布了他的结果，他却对此评价不高，他说：

So progressing arithmetic subtlely the end of which, as is said, is refined as it is useless.

译者注：近在咫尺，又遥不可及，这是每个做学问者的必经之路。

讨论

1.请结合当时的背景，谈谈是什么动机促使了庞贝利接纳√(-1)？

2.如果你在做卡丹一样的事，有一位叫庞贝利的后人在你的基础上解决了这个问题。他所做的仅仅是接纳√(-1)的存在。对此，你想对庞贝利说些什么？